Esto es muy similar a este pregunta, pero me preguntaba si había una prueba más sencilla. En particular, una prueba que demuestre que $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ es un número irracional si tanto $\sqrt{x}$ y $\sqrt{y}$ son irracionales.
Respuestas
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Sugerencia: Si $xy$ no es un cuadrado perfecto, demuestre que $(\sqrt x + \sqrt y )^2 = x + y + 2\sqrt{ xy}$ es irracional, y utilizar el hecho de que y si $u^2$ es irracional entonces también lo es $u$ .
Si $xy = n^2$ entonces demuestre que $\sqrt x + \sqrt y = \sqrt x\left(1+ \frac n {x}\right)$ es irracional.
Jens Svendsen
Puntos
16
Si $x$ y $y$ son enteros entonces también lo son $x - y$ y además si $\sqrt x + \sqrt y$ es racional, entonces $\sqrt x - \sqrt y = \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ también es racional. Entonces por sumas y diferencias así son ambos $\sqrt{x}$ y $\sqrt{y}$ . Por lo tanto, si suponemos que al menos uno de $\sqrt{x}$ y $\sqrt{y}$ son irracionales que también lo es su suma.
