Si $\{M_n\}_{n\mathbb{N}}$ es una familia de operadores continuos para $X$ Banach a $Y$ normalizado, tal que $M_n(x)$ converge a $M(x)$ para todos $x X$ entonces $M$ es un operador lineal acotado y $||M||_{L(X,Y)}\liminf_{n}||M_n||_{L(X,Y)}$ . No puedo entender de qué conjunto se toma el inf?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?El $\liminf$ de una secuencia $(a_n)$ de los números reales se define como $$\liminf_{n\to \infty}a_n:=\lim_{n\to \infty}\inf_{k\geqslant n}a_k.$$ En este caso, esto se justifica porque para cada $x$ y cada $n$ , $$\lVert M_nx\rVert_Y\leqslant \lVert M_n\rVert_{L(X,Y)}\lVert x\rVert_X.$$ Tomando la $\liminf_{n\to \infty}$ en ambos lados da como resultado $$\lVert Mx\rVert_Y\leqslant \liminf_{n\to \infty}\lVert M_n\rVert_{L(X,Y)}\lVert x\rVert_X,$$ y concluimos el resultado deseado por la definición de la norma del operador.
Esto da un límite de la norma del operador límite en función de la norma de $M_n$ 's.
Vale la pena señalar que la secuencia $(\lVert M_n\rVert_{L(X,Y)})_{n\geqslant 1}$ no es necesariamente convergente: tomemos $(e_n)_{n\geqslant 1}$ una base de Hilbert de $X=Y$ (suponiendo que $X$ y $y$ son espacios de Hilbert de dimensión infinita) y definir $M_n(x):=\langle x,e_n\rangle e_n$ Tenemos $M_n(x)\to 0$ para cada $x$ y $\lVert M_n\rVert=1$ para cada $n$ .