Encontrar la línea que no es paralela a otras

Question

Encuentra la línea que no es paralela a las otras tres.

1. $x = (2,0) + t(1,1)$

2. $x = (1,2) + t(-1,1)$

3. $x = (1,1) + t(1,-1)$

4. $x = (1,3) + t(-1,1)$

No estoy seguro de cómo abordar esto, ya que sólo sé cómo encontrar vectores paralelos. Entonces, ¿cómo puedo encontrar líneas paralelas? Aparentemente, la recta que no es paralela a las otras tres es la opción 1, que creo que se debe a que el punto (1, 1) no es un múltiplo escalar de los otros, pero ¿qué pasa con el otro punto?

Answer 1

Así que las líneas paralelas tienen la misma "pendiente"

¿Cómo podemos generalizar esto? Bueno, para la línea 1, subimos $1$ en el eje Y para cada $1$ subimos en $x$ -eje.

Para los otros tres, bajamos $1$ en el eje Y para cada $1$ subimos en $y$ -eje.

Así que el número 1 no es paralelo.

También podemos ver esto porque $(-1,1)$ , $(1,-1)$ y $(-1,1)$ son todos múltiplos unos de otros, por lo que $(1,1)$ es el bicho raro.

Recuerda que paralelo significa la misma pendiente, así que no nos preocupa el primer término de cada expresión de la línea.

Answer 2

Has dado un par de líneas rectas en cada línea de texto. Los dos vectores están dados por $$( u,v)+ t(a,b) $$

El paralelismo depende de la igualdad de pendientes. Así que podemos prescindir del primer paréntesis en cada caso.

El pendiente relativa podemos definir es entonces simplemente

$$\frac {dy/dt}{dx/dt}=b/a $$

Entre las cuatro opciones, la primera tiene una pendiente relativa $+1$ y los otros tres tienen $-1$

Así que la primera opción es correcta para el paralelismo.

Answer 3

Desde otra perspectiva: $$1) \quad x = (2,0) + t(1,1) \Rightarrow (x,y)=(2+t,t) \Rightarrow y=x-2 \quad \quad \quad \ \\ 2) \quad x = (1,2) + t(-1,1) \Rightarrow (x,y)=(1-t,2+t) \Rightarrow y=-x+3\\ 3) \quad x = (1,1) + t(1,-1) \Rightarrow (x,y)=(1+t,1-t) \Rightarrow y=-x+2\\ 4) \quad x = (1,3) + t(-1,1) \Rightarrow (x,y)=(1-t,3+t) \Rightarrow y=-x+4\\$$ Las líneas son paralelas excepto la primera ya que sus pendientes ( $-1$ ) son iguales.

Answer 4

No estoy seguro de cómo abordar esto, ya que sólo sé cómo encontrar vectores paralelos.

Pues de eso se trata realmente, de comprobar si dos vectores son paralelos.

Si tiene dos líneas como

1. $(x, y) = (c1, d1) + t(a1,b1)$

2. $(x, y) = (c2, d2) + t(a2,b2)$

entonces $(a1,b1)$ y $(a2,b2)$ son los vectores de dirección de las líneas. Si esos vectores de dirección son paralelos, entonces las líneas son paralelas.

Así que simplemente calcula el determinante como

$a1 * b2 - b1*a2$

Si el resultado es cero las líneas son paralelas.