Si viajo a velocidad relativista desde el planeta A al planeta B, que están en reposo uno respecto del otro, seré más joven que las personas de A o B cuando llegue. Sin embargo, ¿cómo encaja esto con el hecho de que el cambio en el tiempo propio debería ser simétrico, es decir, yo debería observar que los acontecimientos en A y en B se mueven a una velocidad más lenta, mientras que ellos observan que los acontecimientos para mí se mueven a una velocidad más lenta, así que cuando llego a B ¿por qué iba a ser más joven? Entiendo que esto es similar a la paradoja de los gemelos y a otras preguntas que he hecho, pero sigo sin entender cómo se puede resolver la discrepancia ya que uno permanece en un marco inercial durante todo el viaje. ¿Es porque tengo que desacelerar y por lo tanto cambiar de marco de referencia para llegar a B, y si es así, el efecto sería el mismo si nunca acelerara o desacelerara de A a B, sino que simplemente pasara volando por delante de ellos con alguna velocidad establecida para mí en, digamos, el big bang?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
así que cuando llegue a B ¿por qué voy a ser más joven?
Creo que he abordado esta cuestión en otra pregunta suya.
Una vez más, supongamos que cuando pasas por el planeta A, tu reloj y el del planeta A marcan $t = t_A =0$ .
Ahora, según los habitantes del planeta A, el reloj del planeta B está sincronizado con su reloj.
Sin embargo, en su marco de referencia inercial el reloj del planeta B es adelante del reloj del planeta A.
Supongamos, para simplificar, que el planeta B está a 1 segundo luz del planeta A, en el marco de reposo de los planetas, y que su viaje es a $0.5c$ hacia el planeta B.
Entonces, cuando pasas por el planeta A, observas que el reloj del planeta A dice $t_A = 0$ y observas el reloj del planeta B para leer $t_B = 0.5s$
Cuando pasas por el planeta B, observas que tu reloj marca $t = 1.732s$ y se observa el reloj del planeta B para leer $t_B = 2s$ .
Así que, de hecho, usted observa que el reloj del planeta B va lento; su tiempo transcurrido es $\tau = 1.732s$ mientras que el tiempo transcurrido del planeta B es $\Delta t_B = 2s - 0.5s = 1.5s$
Además, los habitantes del planeta B observan que su reloj va lento. Observan que has pasado por el planeta A cuando su reloj marcaba $t_B =t_A = 0$ así que, según su reloj, tomaste $2s$ para hacer el viaje mientras su reloj sólo mostraba $1.732s$ .
Por lo tanto, la dilatación del tiempo es simétrica: tú observas que el reloj del planeta B va lento y ellos observan que tu reloj va lento.
Nótese que esto no es una contradicción y es posible por el hecho de que los dos relojes planetarios son no sincronizados en su marco de referencia.
Estos son los cálculos para los números anteriores...
Cuando su reloj marque $t=0$ El reloj del planeta B dice
$$t_B = \frac{0.5c \cdot 1ls}{c^2} = 0.5s$$
Como se recorre 1 segundo-luz a una velocidad de $0.5c$ en el marco de reposo de los planetas, su tiempo transcurrido es
$$\Delta t = 2s \cdot\sqrt{1 - 0.5^2} = 1.732s = \tau$$
Como, según usted, el reloj del planeta B se mueve, debería calcular que
$$\Delta t_B = 1.732s \cdot \sqrt{1 - 0.5^2} = 1.5s$$
que está de acuerdo con lo que observar
$$\Delta t_B = 2s - 0.5s = 1.5s$$
Aún así, ¿qué pasaría si el viajero decidiera desacelerar drásticamente desacelerar al pasar por B? ¿Cómo pasaría su reloj de marcar 2 segundos a 1,5 segundos?
Mientras se mantenga la inercia, la dilatación del tiempo es simétrica.
Sin embargo, si usted desacelera repentinamente a velocidad cero (en relación con los planetas) al llegar al planeta B, ahora encontraría que su reloj funciona a la misma velocidad que los relojes planetarios, que ahora observa que están sincronizados, y que usted está detrás de ellos en $2s - 1.732s = .268s$ .
Ya que usted conozca que su reloj leyera $t=0$ cuando $t_A=0$ usted conozca En esencia, usted "vería" que los habitantes del planeta A "saltaron" de edad en 0,5s durante la desaceleración
Justo antes de la desaceleración, se observaría que el reloj del planeta A marca $t_A = 1.5s$ .
Justo después de la desaceleración, se observaría que el reloj del planeta A marca $t_A = 2s$ .
Dado que usted está situado junto al planeta B justo antes y después de la desaceleración, no observaría que el reloj del planeta B cambiara.
Mientras se viaja en un marco de referencia inercial, se percibe que el tiempo de los objetos que se mueven con respecto a uno es más lento que el suyo. Para tales situaciones, puede aplicar la noción ingenua de dilatación del tiempo. En cuanto aceleras en cualquier lugar, debes olvidarte de la dilatación del tiempo como forma de obtener lo que leerás en cualquier reloj. La dilatación del tiempo no es el único concepto en la RS . El concepto correcto para los tiempos transcurridos es:
Independientemente de la aceleración, para cualquier trayectoria $\gamma$ en el espacio-tiempo recorrido, el tiempo transcurrido en un reloj al final de ese camino es el tiempo adecuado $\tau = \int_\gamma \sqrt{\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x_\mu}$ .
Para que puedas decir con sentido que eres "más joven" o "más viejo" que otra persona, ambos debéis estar en el mismo marco inercial.
Si alguien viaja de un lugar a otro, siempre debe acelerar o desacelerar para comparar su edad con la de las personas que viven al final de esos caminos.
Por lo tanto, la dilatación del tiempo no arrojará ningún resultado significativo sobre quién es "más viejo" o "más joven", ya que sólo se formula para marcos inerciales.
No hay ninguna paradoja porque el cálculo del tiempo propio para cada camino recorrido a través del espaciotiempo dará resultados inequívocos sobre qué reloj lee qué, ya que el tiempo propio es una invariante de Lorentz.
Tienes un problema de sincronización porque estás describiendo 2 eventos (planeta de salida $A$ y el planeta de llegada $B$ ), pero hay que tener en cuenta 4 eventos en el espaciotiempo (estado del planeta $B$ a la salida y el estado del planeta $A$ de la llegada).
La contradicción es relativamente sencilla de rastrear, sólo aplicando la fórmula de dilatación del tiempo $$T=\gamma\tau$$ y la fórmula del tiempo adecuado $$\tau = T/\gamma$$ :
Digamos que el viaje desde $A$ a $B$ $(v=0,6, \gamma=1,25)$ toma $10$ años, por lo que el tiempo propio de la nave espacial es $\tau_1 = 10 $ años. Ahora verás que conseguiremos dos valores diferentes para el momento oportuno $\tau_2$ de los planetas:
1.El tiempo observado del viaje, observado por el marco de referencia de los planetas $T_1 = 12,5$ años. Así, el tiempo propio de los planetas es $\tau_2=10$ años.
2.El tiempo observado del movimiento relativo de los planetas, observado por la nave espacial $T_2 = \tau_1=10$ años.
Aplicando la fórmula del tiempo propio, la nave espacial calculará para los planetas un tiempo propio de $\tau_2=8$ años.
La diferencia entre estos dos valores diferentes para $\tau_2$ se debe a que no se ha definido una hora de inicio y una hora de llegada para cada planeta. Así, los planetas consideran un tiempo propio de $10$ años, mientras que la nave espacial sólo considera un tiempo adecuado para los planetas de $8$ años.
Si viajo a velocidad relativista
...digamos que a velocidad constante $\beta ~ c$ ...
del planeta A al planeta B que están en reposo uno respecto del otro
entonces
(1) A y B consiguen determinar qué indicación de A ha sido simultáneamente a qué indicación de B (y viceversa); y
(2) La duración de A desde que indica su salida, hasta la indicación (de A) simultánea a la indicación de B de su llegada es igual a
la duración de B desde la indicación (de B) simultánea a la indicación de A de su salida hasta la indicación de su llegada; y
(3) su duración desde la indicación de la salida de A hasta la llegada de B es
$\sqrt{ 1 - \beta^2 }$ de
la(s) duración(es) descrita(s) en (2).
Seré más joven que la gente de A o B cuando llegue.
Eso no está en absoluto garantizado, pero depende de
-
si hubieras sido tan joven como la gente de A en tu partida,
-
si la gente de B, en su indicación simultánea a la de A de tu partida, había sido tan joven como tú (y la gente de A) en tu partida,
-
si las personas de B y las de A habían envejecido por igual (según la comparación de sus indicaciones simultáneas), y
-
si las personas de A o B hubieran envejecido igual que tú; en proporción a la relación de duración descrita anteriormente en (3).
En otras palabras:
La relación de duración de (3) puede derivarse con total independencia de cualquier comparación de la "juventud de la apariencia".
Sin embargo, ¿cómo encaja esto con el hecho de que el cambio en el tiempo propio debe ser simétrico [...]
Para una configuración simétrica debemos considerar a alguien, digamos Q, que está y permanece en reposo a usted, tal que A viajó a la velocidad $\beta~c$ de ti a Q.
Entonces, simétrico a (3) anterior:
La duración de A desde que indica su salida hasta que indica la llegada de Q es
$\sqrt{ 1 - \beta^2 }$ de
su duración desde la indicación de la salida de A hasta la (su) indicación simultánea a la indicación de la llegada de A por parte de Q.
