En Sakurai y Napolitano, capítulo 2, hay una derivación de la fuerza QM Lorentz.
Dado $$H=\frac{1}{2m}\left(\mathbf{p}-\frac{e\mathbf{A}}{c}\right)^2+e\phi = \frac{\mathbf{\Pi}^2}{2m}+e\phi$$
el texto afirma
$$\frac{d\mathbf{\Pi}}{dt} = e\left[\mathbf{E}+\frac{1}{2c}\left(\frac{d\mathbf{x}}{dt}\times\mathbf{B}-\mathbf{B}\times\frac{d\mathbf{x}}{dt}\right)\right].$$
Tengo dificultades para conectarlos... Intenté usar la imagen de Heisenberg con
$$\begin{align} \frac{d\mathbf{\Pi}}{dt} &= \frac{1}{i\hbar}[\mathbf{\Pi},H] \\ &= \frac{1}{i\hbar}\left[\mathbf{\Pi},\frac{\mathbf{\Pi}^2}{2m}+e\phi\right] \\ &= \frac{e}{i\hbar}\left[\mathbf{\Pi},\phi\right] \\ &= \frac{e}{i\hbar}\left[\mathbf{p}-\frac{e\mathbf{A}}{c},\phi\right] \\ &= \frac{e}{i\hbar}\left[\mathbf{p},\phi\right]- \frac{e}{i\hbar}\left[\frac{e\mathbf{A}}{c},\phi\right] \\ &= -e\nabla\phi- \frac{e^2}{i\hbar c}\left[\mathbf{A},\phi\right] \\ &= e\mathbf{E} - \frac{e^2}{i\hbar c}\left[\mathbf{A},\phi\right] \end{align}$$
...y estoy atascado. Es mira como si fuera la dirección correcta, pero no entiendo cómo evaluar el conmutador restante. ¿No son ambos $A$ y $\phi$ funciones de $x$ ? He intentado buscar este conmutador, pero mis habilidades de búsqueda no lo han conseguido.
