Contraejemplo: Las ecuaciones de Cauchy Riemann no implican diferenciabilidad

Question

Necesito ayuda con este ejercicio:

Dejemos que $$ f(z) = \left\{ \begin{align} &e^{-\frac{1}{z^4}} &\hspace{1mm} \mbox{if} \hspace{1mm} z \neq 0 \\ &0 &\hspace{1mm} \mbox{if} \hspace{1mm} z = 0 \\ \end{align} \right. $$ Demuestra que $f$ satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero $f$ no es diferenciable en $z=0$ .

Tengo que calcular $u_x(x,y)$ , $u_y(x,y)$ , $v_x(x,y)$ y $v_y(x,y)$ , así que tengo que encontrar $u(x,y)$ y $v(x,y)$ explícitamente. Mis intentos: si $z = x+iy$ entonces $z^4 = (x+iy)^4$ Haciendo las cuentas, encontré

$$ z^4 = (x^4 - 6x^2y^2 + y^4)+i(4x^3y - 4xy^3) $$

No sé cómo encontrar $-\dfrac{1}{z^4}$ . Mi segundo intento fue este: (tratando de encontrar $f(z)$ en coordenadas polares) sea $z = |z|e^{i\theta}$ entonces $z^4 = |z|^4e^{i(4\theta)}$ Por lo tanto

$$ e^{-\frac{1}{z^4}} = e^{-|z|^4}e^{e^{i\theta}} $$

Te agradezco cualquier idea que tengas.

Answer 1

La función $f$ es analítica fuera del origen, por lo que satisface las ecuaciones CR en todo $z\ne0$ . Para $z=0$ mira $$f_x(0,0)=\lim_{x\to0}{e^{-1/x^4}\over x}=0\ ,$$ y de manera similar $$f_y(0,0)=\lim_{y\to0}{e^{-1/(iy)^4}\over y}=0\ .$$ De ello se desprende que $u_x(0,0)=v_x(0,0)=u_y(0,0)=v_y(0,0)=0$ Así que $f$ satisface las ecuaciones CR también en $z=0$ .

Pero $f$ no es ni siquiera continua en $z=0$ : Considere los puntos $z(t):=(1+i)t$ de verdad $t$ cerca de $0$ . Te dejo los detalles.