Límite de una secuencia

Question

Calcula el límite de la sucesión $\{x_n\},$ definida de la siguiente manera: $$x_n=\dfrac{a+aa+aaa+aaaa\cdots+aaaaaaa..aaa }{10^n},$$ donde $a\in\{1,2\ldots,9\}.$

$aaaaaaa..aaa = a , n$ veces

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Se ve que te refieres a lo siguiente: $$x_n = \frac{a}{10^n}\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=0}^{k-1}10^j$$ Suponiendo que este sea el caso, primero note que la suma interna se puede calcular de forma cerrada. Para cualquier constante $c \neq 1$, tenemos $$\sum_{j=0}^{k-1}c^j = \frac{c^k - 1}{c - 1}$$ por lo que para $c = 10$ esto es $$\sum_{j=0}^{k-1}10^j = \frac{1}{9}(10^k - 1)$$ Sustituir esto de nuevo en la expresión original nos da $$x_n = \frac{a}{9\cdot 10^n}\sum_{k=1}^{n}(10^k - 1)$$ Podemos evaluar la suma de la siguiente manera: $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}(10^k - 1) &= \sum_{k=1}^{n}10^k - \sum_{k=1}^{n}1 \\ &= 10\sum_{k=0}^{n-1}10^k - n \\ &= \frac{10}{9}(10^n - 1) - n \\ \end{aligned}$$ Sustituyendo esto en la expresión anterior, obtenemos $$\begin{aligned} x_n &= \frac{a}{9\cdot 10^n}\left( \frac{10}{9}(10^n - 1) - n \right) \\ &= \frac{10a}{81}\left( 1 - \frac{1}{10^n} \right) - \frac{na}{9 \cdot 10^n}\\ \end{aligned}$$ En el límite cuando $n \to \infty$, el segundo término converge a cero, y el primer término converge a $10a/81$. Por lo tanto concluimos que $$\lim_{n \to \infty}x_n = \frac{10a}{81}$$

Answer 2

Por el teorema de Stolz-Cesàro, se tiene \begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}x_n&=&\lim_{n\to\infty}\dfrac{a+aa+aaa+aaaa \cdots+aaaaaaa..aaa }{10^n}\\ &=&\lim_{n\to\infty}\dfrac{aaaaaaa..aaa}{10^n-10^{n-1}}\\ &=&\lim_{n\to\infty}\dfrac{a\sum_{k=0}^{n-1}10^k}{10^n-10^{n-1}}\\ &=&\lim_{n\to\infty}\dfrac{a\frac{10^n-1}{9}}{9\cdot 10^{n-1}}\\ &=&\frac{10a}{81} \end{eqnarray}