Pregunta sobre la prueba de que cualquier endomorfismo no trivial $\alpha :E(\overline{K})\to E(\overline{K})$ es surjetivo

Question

En el libro Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, de Lawrence C. Washington, dice lo siguiente (véase la imagen que aparece a continuación):

"Desde $\text{E}(\overline{K})$ es infinito y el núcleo de $\alpha$ es finito, sólo un número finito de puntos de $\text{E}(\overline{K})$ puede mapear a un punto con una $x$ -coordinar".

No veo por qué es cierto que sólo existe un número finito de tales puntos. He intentado buscar una contradicción sin éxito. Se agradece cualquier ayuda.

https://i.stack.imgur.com/cFUXZ.png

Answer 1

Esta respuesta se basa en el comentario de Adrien. Arreglar $(x,y)$ en $E(\overline{K})$ Supongamos que existe $P$ en $E(\overline{K})$ tal que $\alpha(P)=(x,y)$ (si no, el enunciado es trivial), considere el siguiente mapa: $$f:\{Q\in E(\overline{K}) : \alpha(Q)=(x,y)\}\to \text{ker}(\alpha), \; Q \mapsto Q - P.$$ Claramente $f$ mapas a $\text{ker}(\alpha)$ . Además, $f$ es suryente; elija cualquier elemento $Z$ en $\text{ker}(\alpha)$ entonces considere $Z+P$ en $E(\overline{K})$ . Tenga en cuenta que $\alpha(Z+P)=\alpha(Z)+\alpha(P)=\infty+(x,y)=(x,y)$ (usando ese $\alpha$ es un homomorfismo), por lo que $Z+P \in \{Q\in E(\overline{K}) : \alpha(Q)=(x,y)\}$ . Evidentemente, $f(Z+P)=Z$ . Así que $f$ es sobreyectiva. Supongamos ahora que $f(V)=f(W)$ para algunos $V,W$ en el dominio. A continuación, $V-P=W-P$ lo que implica que $V=W$ Por lo tanto $f$ es inyectiva. Así que $f$ es biyectiva y como $\text{ker}(\alpha)$ es finito, se deduce que sólo un número finito de elementos mapean a un punto con un $x$ -coordinación.