Demostrar que existe un elemento en la función...Inicio de la prueba de la función

Question

Tengo problemas con la última parte de mi prueba:

Dejemos que f: $\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ sea una función con $f(x+y)=f(x)+f(y)$ para todos $x,y \in \mathbb{Z}$ . Demostrar que existe un elemento $a\in \mathbb{Z}$ tal que $f(n)=na$ para todos $n \in \mathbb{Z}$ .

¿Qué hago? Estaba pensando en combinar $na$ en $q$ y luego $f(n)=q$ .

Pero eso significa que $n$ divide $q$ . ¿Por dónde empiezo?

Así que si mi caso base es n=1, entonces la hipótesis de inducción debe resultar cierta para f(k) = ka. Entonces en mi paso de inducción f(k+1)=(k+1)(a) y ¿qué hago después? Me parece que lo he demostrado porque sí existe una a.

Answer 1

Sugerencia Dejemos que $a = f(1)$ . Entonces $f(n) = na$ se mantiene para $n = 1$ . Utilízalo como caso base en una prueba de inducción.