Si en el punto A con posición $\vec{r}_A$ la suma de fuerzas y momentos es $\vec{F}$ y $\vec{M}_A$ entonces la línea de acción de la fuerza tiene dirección $$\vec{e} = \frac{\vec{F}}{|\vec{F}|}$$ y la posición más cercana a A como $$ \vec{r} = \vec{r}_A + \frac{ \vec{F} \times \vec{M}_A}{|\vec{F}|^2}$$
donde × es el producto vectorial cruzado.
Esto viene del momento de la red $\vec{M} = \sum_{i=1}^n \vec{r}_i \times \vec{F}_i $ y la fuerza neta $\vec{F} = \sum_{i=1}^n \vec{F}_i$ . Por definición, la línea de acción se sitúa donde $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ y al cruzar con la fuerza neta ambos lados da
$$\begin{aligned} \vec{F} \times \vec{M} & = \vec{F} \times ( \vec{r} \times \vec{F} ) \\ & = - \vec{F} \times ( \vec{F} \times \vec{r} ) \\ & = - \vec{F} (\vec{F}\cdot\vec{r}) + \vec{r} ( \vec{F}\cdot\vec{F} ) \end{aligned}$$
utilizando el producto triple vectorial . Ahora bien, desde $\vec{r}$ se toma como la más cercana a la línea de acción, significa que apunta perpendicularmente a $\vec{F}$ y por lo tanto $\vec{r}\cdot\vec{F}=0$ . Así que
$$ \vec{F}\times\vec{M} = \vec{r} (\vec{F}\cdot\vec{F}) $$ $$ \boxed{ \vec{r} =\frac{ \vec{F}\times\vec{M} }{ \vec{F}\cdot\vec{F} } }$$
Aquí tenemos $$ \vec{F} = (P,0,-P) \\ \vec{M} = (0,P (a+c),-P b) $$ y $$\vec{r} = ( \frac{a+c}{2}, \frac{b}{2}, \frac{a+c}{2} ) $$
También existe una componente del momento neto paralela a la fuerza neta. Esta se calcula con el paso $$h = \frac{\vec{F}\cdot\vec{M}}{\vec{F}\cdot\vec{F}}$$ que en nuestro caso es $h=\frac{b}{2}$ . En conjunto, el momento neto en el origen es
$$\begin{aligned} \vec{M} & = \vec{r} \times \vec{F} + h \vec{F} \\ & = ( \frac{a+c}{2}, \frac{b}{2}, \frac{a+c}{2} ) \times (P,0,-P) + \frac{b}{2} (P,0,-P) \\ & = (-P \frac{b}{2}, P (a+c), - P \frac{b}{2} ) + (P \frac{b}{2},0,P \frac{b}{2} ) \\ & = (0, P (a+c), -P b) \;\checkmark \end{aligned}$$
