¿Es esto lógicamente válido?

Question

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}.....+\frac{1}{n-1} > ln(n)$$

y así, necesariamente, $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}.....+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}.....+\frac{1}{n} > ln(n)$$

asumiendo que $n \in \mathbb {N}$ .

Answer 1

Creo que lo que se esconde aquí es demostrar la afirmación por inducción. Si esto es cierto, la hipótesis inductiva dada en el OP es incorrecta, y en su lugar debería ser $$1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n-1}>\ln \color{red}{(n-1)}$$

Para construir una inducción adecuada, se empieza con lo anterior, se añade $\frac{1}{n}$ a ambas partes, y luego tratar de demostrar que $$\ln (n-1) + \frac{1}{n}\ge\ln (n)$$

Answer 2

Imagina una desigualdad $$\frac{1}{n}>0.$$ Podemos añadir la misma cantidad en ambos lados $$\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-1}\right)+\frac{1}{n}>0+\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-1}\right)$$

Ahora usamos su primera desigualdad y la transitividad de $>$ que dice que si $a>b$ y $b>c$ entonces $a>c$ , donde $a:=\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-1}\right)+\frac{1}{n}$ , $b:=\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-1}\right)$ y $c:=\ln(n)$ .