Una pregunta de cálculo sobre raíces desiguales y reales

Question

Estoy atascado en esta cuestión de abajo y me preguntaba si alguien podría darme algunas pistas sobre cómo avanzar.

Answer 1

Método 1

$f'(x) = 2ax + b,\;$ así que $\;f'(r) + f'(s) = (2ar + b) + (2as + b) = 2a(r+s) + 2b.$ Recordemos que $r+s = -\frac{b}{a}$ (ver aquí ), lo que implica $b = -a(r+s),$ y por lo tanto obtenemos

$$f'(r) + f'(s) \; = \; 2a(r+s) + 2b \; = \; 2a(r+s) -2a(r+s) \; = \; 0.$$

Método 2

Si $r$ y $s$ son las raíces, entonces tanto $x-r$ y $x-s$ son factores de $ax^2 + bx + c,$ lo que implica que $(x-r)(x-s)$ es un factor de $ax^2 + bx + c.$ Por lo tanto, ya que $ax^2 + bx + c$ es cuadrática $(r \neq s$ es necesario aquí, pero el resultado que se quiere demostrar sigue siendo cierto si $r$ es una raíz repetida) y $(x-r)(x-s)$ es cuadrática, sólo difieren en un factor constante (factorización única de los polinomios; pero es probable que se pueda asumir esto), lo que significa que debemos tener $ax^2 + bx + c = a(x-r)(x-s).$ Por lo tanto, utilizando la regla del producto, tenemos $f'(x) = a [1 \cdot (x-s) + (x-r) \cdot 1],$ y por lo tanto

$$ f'(r) + f'(s) \; = \; [(r-s) + (r-r)] \; + \; [(s-s) + (s-r)] \; = \; (r-s) + (s-r) \; = \; 0 $$ Por cierto, si no se utiliza la regla del producto, sino que se expande $a(x-r)(x-s)$ primero y luego diferenciar, verás $-a(r+s)$ aparecen como el coeficiente de $x$ después de expandirse, y los detalles ahora se parecen a los del método 1.

Interpretación geométrica

(cortesía del comentario de @TheSilverDoe arriba)

El gráfico de $y = ax^2 + bx + c$ es una parábola cuyo eje de simetría es la línea vertical $x = \frac{r+s}{2},$ porque el eje pasa por el vértice y el vértice está (horizontalmente) a medio camino entre los dos $x$ -intercepciones. Así, las pendientes (= inclinación) en los interceptos (que son equidistantes del eje) tienen magnitudes iguales con signos opuestos. Nos ayudará dibujar un diagrama aproximado. Si la parábola se abre hacia arriba, entonces la pendiente en la intercepción de la izquierda tiene un cierto valor negativo, la pendiente en la intercepción de la derecha tiene un cierto valor positivo, y estos dos valores tienen la misma magnitud - piense en reflejar el lado izquierdo de la parábola sobre el eje de simetría para obtener el lado derecho de la parábola. La situación es similar cuando la parábola se abre hacia abajo.

Answer 2

Una función cuadrática $f(x)$ puede escribirse como $$f(x) = ax^2+bx+c = a(x-r)(x-s).$$ Si diferenciamos ambos lados y hacemos uso de la regla del producto obtenemos $$f'(x) = a(2x-r-s).$$ Ahora escribe tu expresión deseada e inserta los ceros: $$f'(r)+f'(s) = a(2r-r-s)+a(2s-r-s) = a((r-s)+(-r+s)) = a\cdot0=0$$