Probabilidades dependientes mediante la regla de Bayes

Question

La probabilidad de que alguien contraiga la enfermedad de las vacas locas es del 0,01 (1%). Si alguien visita EE.UU., esta probabilidad se convierte en un 0,05 (5%). La probabilidad de que alguien vaya a EE.UU. es del 0,01 (1%). Si alguien va a EE.UU., lo más probable es que compre la bandera como recuerdo, la probabilidad de que alguien lo haga es del 0,7 (70%). Como la bandera es bien conocida, las personas que nunca han estado en EE.UU. tienen una probabilidad de 0,3 (30%) de tener la bandera. Ahora bien, dado que alguien tiene la enfermedad de las vacas locas y tiene la bandera de los EE.UU., ¿cuáles son las probabilidades de que haya visitado los EE.UU.?

Así:
P(USA) = 0,01
P(MCD) = 0,01
P(MCD|USA) = 0,05
P(bandera|!USA) = 0,3
P(bandera|Estados Unidos) = 0,7

Siguiendo la regla de Bayes podemos calcular la probabilidad de que alguien haya estado en América dado el conocimiento de que esta persona tiene MCD:
P(USA|MCD) = P(MCD|USA)*P(USA)/P(MCD) = 0,05 *0,01 / 0,01 = 0,05.

Ahora el problema es cómo calculamos la posibilidad de que alguien haya visitado los Estados Unidos dado que tiene la bandera americana, y después de eso dado que alguien tiene y la enfermedad de las vacas locas y la bandera americana la posibilidad de que haya estado en América.

¿Cómo se hace esto?

¡Salud!

Answer 1

Necesita información sobre la probabilidad conjunta de $MCD$ y $flag$ (dado $USA$ ) para resolver este problema. Asumiré que son condicionalmente independientes, pero eso puede no ser necesariamente cierto.

Si $MCD$ y $flag$ son condicionalmente independientes, entonces $P(MCD \cap flag|USA) = P(MCD | USA) \times P(flag | USA) = 0.035$ . También tenemos que calcular $P(MCD \cap flag|!USA)$ para lo cual necesitamos $P(MCD | !USA)$ . Podemos calcularlo como $$\frac{P(MCD \cap !USA)}{P(!USA)} = \frac{P(MCD) - P(MCD \cap USA)}{P(!USA)} = \frac{0.01-0.0005}{0.99} \approx 0.009596.$$ Entonces $$P(MCD \cap flag | !USA) = P(MCD | !USA) \times P(flag|!USA) \approx 0.009596 \times 0.3 \approx 0.002879.$$

Ahora la regla de Bayes nos dice que $$P(USA|flag \cap MCD) = \frac{P(flag \cap MCD | USA) \times P(USA)}{P(flag \cap MCD)}.$$ Por la ley de la probabilidad total podemos expandir el denominador como $$P(flag \cap MCD) = P(flag \cap MCD | USA)\times P(USA) + P(flag \cap MCD | !USA)\times P(!USA).$$ Ya hemos calculado las dos probabilidades condicionales del lado derecho como 0,035 y (aproximadamente) 0,002879, respectivamente, por lo que tenemos

$$P(USA|flag \cap MCD) = \frac{0.035 \times 0.01}{0.035 \times 0.01 + 0.002879 \times 0.99} \approx 0.109.$$ Así que hay aproximadamente un $10.9\%$ posibilidad de que alguien haya estado en EE.UU. dado que tiene una bandera y tiene MCD. Las partes cruciales de la solución son (1) suponer que la bandera y la MCD son independientes condicionadas a los EE.UU., lo que puede no ser cierto y (2) utilizando la ley de la probabilidad total para obtener el denominador.