Conjugado hermitiano del operador de momento

Question

Sabemos que el operador de momento debe ser hermitiano ya que su valor propio da el momento que es medible y por lo tanto debe ser real.

Ahora, cuando el operador de momento se escribe en la forma

$$\hat{p}_x = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x},$$

entonces al realizar la conjugación hermitiana, se convierte en

$$\hat{p}^\dagger_x = i \hbar \frac{\partial}{\partial x} = -\hat{p}_x$$

lo que hace que el operador sea skew-hermitiano. ¿Qué ha salido mal?

Answer 1

Recuerde que cuando escriba $p_x$ en esa forma, implícitamente lo estás tratando como un operador en el espacio de funciones $L^2$ donde el producto escalar está definido por

$$ \langle\psi,\phi\rangle=\int dx \psi(x)^* \phi(x)$$

Para tomar el adjunto, sólo hay que tomar el conjugado complejo de la constante multiplicativa $i\hbar$ pero hay que tomar el adjunto del operador $\partial_x$ en este espacio. El adjunto de un operador $A$ se define por la relación $$ \langle\psi,A\phi\rangle=\langle A^\dagger\psi,\phi\rangle$$

tenemos por integración por partes

$$ \langle\psi,A\phi\rangle=\int dx \psi(x)^* i\hbar\partial_x\phi(x)=i\hbar\left(\psi^*\phi|_{-\infty}^\infty-\int dx \partial_x \psi^*\phi\right)$$

utilizamos que las funciones de onda deben desaparecer en el infinito para eliminar el término de frontera

$$ \langle\psi,p_x\phi\rangle=\int dx \psi(x)^* i\hbar\partial_x\phi(x)=-i\hbar\int dx \partial_x \psi^*\phi=\int dx(i\hbar\partial_x\psi)^*\phi=\langle p_x\psi,\phi\rangle$$

por lo que $p_x^\dagger=p_x$

EDIT: Creo que debo añadir que esta es una derivación bastante descuidada, desde la perspectiva de un matemático (algunos matemáticos podrían decir que es sencillamente incorrecta), pero transmite una forma cruda de obtener el operador adjunto y ofrece el resultado correcto. En realidad, el operador $\partial_x$ no tiene límites, por lo que hay que tener cuidado con la definición del adjunto y con el lugar donde se define el adjunto. Véase esta pregunta para un tratamiento más riguroso.