Grupos generados por un subconjunto

Question

Dejemos que $X,Y \subseteq G$ .

1. Son $\langle X\rangle \cap \langle Y\rangle$ y $\langle X\cap Y\rangle $ ¿Igual?
2. Son $\langle \langle X\rangle \cup \langle Y\rangle\rangle$ y $\langle X \cup Y\rangle$ ¿Igual?

Observación: $\langle X\rangle$ es la notación para la intersección de todos los subgrupos de G que contienen a X.

Estoy preparando un examen parcial y tratando de resolver los ejercicios al final de cada capítulo. Este es un ejercicio del libro Grupos y Representaciones de Alperin.

Mi intento Creo que la intersección no es necesariamente igual, sin embargo la unión es igual. Entonces necesito encontrar un contraejemplo para la intersección y demostrar que las uniones son iguales. Sin embargo, no sé cómo empezar.

Answer 1

Para la primera pregunta:

Una pista. Tenga en cuenta que $\mathbb{Z}=\langle 2, 3\rangle$ .

Para la segunda pregunta, básicamente hay que entender que, para $S\subset G$ , " $\langle S\rangle$ es el subgrupo más pequeño de $G$ que contiene $S$ ". Esto significa que si $x\in H$ para cualquier $H\leq G$ entonces $\langle x\rangle\leq H$ ¿verdad? Con un poco de reflexión se pueden combinar estos hechos para conseguir que $\langle \langle X\rangle \cup \langle Y\rangle\rangle=\langle X \cup Y\rangle$ .

[No estoy convencido de que una prueba completa sea útil para la segunda pregunta. Estas cosas es mejor que las resuelvas tú mismo, ya que es realmente una cuestión de definiciones. Pero posiblemente un ejemplo bonito e instructivo es que en $\mathbb{Z}$ , $\langle 3, 6, 5, 10\rangle=\langle 3, 5\rangle$ . ¿Por qué?]