Medida del subespacio de matrices con valores singulares repetidos

Question

Hola a todos,

Consideremos una matriz real P x Q (P >= Q). Se puede pensar en ella como un elemento de $\mathbb{R}^{PQ}$ . Estamos considerando la medida de Lebesgue sobre ese espacio. Mi pregunta es si el subespacio de matrices con valores singulares repetidos es de medida 0 o no.

Cualquier sugerencia será bienvenida.

Gracias Ashin

Answer 1

Los valores propios de $$ \widehat M = \begin{pmatrix}0&M\\ M^T&0\end{pmatrix} $$ son los cuadrados de los valores singulares de $M$ . Una simetría $n\times n$ matriz $N$ tiene un valor propio repetido si y sólo si el rango de $$ N\otimes I - I\otimes N $$ es menor que $n^2-n$ . Por tanto, el conjunto de matrices $\widehat M$ con un valor propio repetido es una subvariedad propia del conjunto de matrices $\widehat M$ por lo que este conjunto tendrá medida cero.

Answer 2

El conjunto de matrices con un valor propio repetido se define mediante una ecuación algebraica ${\rm disc}(M)=0$ . Este es el discriminante en los valores propios $$\prod_{i\lt j}(\lambda_j-\lambda_i)^2,$$ que es un polinomio en las entradas de $M$ . Como este polinomio es no trivial, su conjunto es una variedad algebraica no trivial. En particular, tiene medida cero y es cerrado.