Anillos de coordenadas homogéneos del producto de dos variedades proyectivas

Question

En el Ej. 3.15, capítulo I de "Geometría Algebraica" de Hartshorne, hemos demostrado que $ A(X \times Y) \cong A(X) \otimes A(Y)$ cuando X e Y son variedades afines. ¿Es la misma afirmación cierta para las variedades proyectivas, es decir, si X e Y son variedades proyectivas entonces es $ S(X \times Y) \cong S(X) \otimes S(Y)$ . Gracias.

Answer 1

Dejemos que $X \subset \mathbb{P}^n, Y \subset \mathbb{P}^m$ sean variedades proyectivas con anillos de coordenadas homogéneos $S(X)$ y $S(Y)$ respectivamente. Si tomamos las ecuaciones que definen $X$ vemos que son polinomios homogéneos en $n+1$ variables. Naturalmente, definen una variedad afín de $\mathbb{A}^{n+1}$ que se llama el cono afín de $X$ y se denota por $C(X)$ . Ahora, el producto $C(X) \times C(Y)$ es una variedad afín de $\mathbb{A}^{n+1} \times \mathbb{A}^{m+1} \cong \mathbb{A}^{n+m+2}$ y está dada por ecuaciones homogéneas. El anillo de coordenadas afín de $C(X) \times C(Y)$ es precisamente $S(X) \otimes S(Y)$ . Dado que las ecuaciones que definen $C(X) \times C(Y)$ son homogéneos, $C(X) \times C(Y)$ tiene la estructura de una variedad proyectiva y por lo tanto podemos verla como una variedad proyectiva de $\mathbb{P}^{n+m+1}$ con un anillo de coordenadas homogéneo $S(X) \otimes S(Y)$ . Esto demuestra que $S(X) \otimes S(Y)$ es el anillo de coordenadas homogéneo de la variedad proyectiva que corresponde al producto de los conos afines de $X$ y $Y$ .

Para tener una idea de lo que $S(X \times Y)$ es, primero hay que darse cuenta de que $X \times Y$ es una variedad proyectiva de $\mathbb{P}^{(n+1)(m+1)-1}$ mediante la incrustación de Segre. Hagamos un ejemplo utilizando la excelente pista de Mariano. Tomemos $X=Y= \mathbb{P}^1$ . Entonces $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ es una hipersuperficie cuadrática de $\mathbb{P}^3$ dada por la ecuación $z_{00}z_{11}-z_{10}z_{01}=0$ y por tanto su anillo de coordenadas homogéneo es $S(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1) = \frac{k[z_{00},z_{01},z_{10},z_{11}]}{(z_{00}z_{11}-z_{10}z_{01})}$ . Por otro lado, $S(X)=k[x_0,x_1], S(Y)=k[y_0,y_1]$ y así $S(X) \otimes S(Y) = k[x_0,x_1,y_0,y_1]$ . Esto concuerda con el hecho de que $C(X)\cong C(Y)=\mathbb{A}^2$ .