$\mathbb{R}P^n$ es un $n$ -manifold: ¿cómo mostrar propiedades localmente euclidianas y de Hausdorff?

Question

Demuestre que el espacio proyectivo real $\mathbb{R}P^n$ es un $n$ -manifiesto.

Tenemos que demostrar que $\mathbb{R}P^n$ es segundo contable, localmente euclidiano y Hausdorff.

La segunda contrastabilidad se deduce simplemente de la segunda contrastabilidad de $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\}$ .

Para demostrar la propiedad localmente euclidiana, sigo una pista y considero los conjuntos $U_i = \{ (x_0,...,x_n) \in \mathbb{R}^{n+1} : x_i \neq 0 \}$ . Entonces podemos construir los mapas $$\varphi_i : U_i \to \mathbb{R}^n, (x_0,...,x_n) \mapsto \left(\frac{x_0}{x_i},...,\frac{x_{i-1}}{x_i}, \frac{x_{i+1}}{x_i},...,\frac{x_n}{x_i}\right).$$ No sé cómo proceder ahora. ¿Para qué podemos utilizar estos mapas? ¿Son homeomorfismos?

Tampoco he podido demostrar la propiedad Hausdorff.

Gracias por cada pista.

Answer 1

Por definición, $$ \mathbb{RP}^n = \left(\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\}\right) \big/ \sim\, , $$ donde $$ x \sim y \iff \exists\ \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \text{ such that } x = \lambda y. $$ La topología en $\mathbb{RP}^n$ es, por definición, la topología cociente inducida por la proyección canónica \begin{align} \pi &: \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{ 0 \} \to \mathbb{RP}^n\\ &: (x_0,\dots,x_n) \mapsto [x_0,\dots,x_n] \end{align} donde $[x_0,\dots,x_n] \in\mathbb{RP}^n$ denota la clase de equivalencia de $(x_0,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0 \}$ . Esto hace que $\pi$ un mapa cociente.

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Para demostrar que $\mathbb{RP}^n$ es localmente euclidiano, necesitamos exhibir una cubierta para $\mathbb{RP}^n$ mediante gráficos de coordenadas. Para cada $0 \leq i \leq n$ , defina $U_i \subset \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{ 0 \}$ por $$ U_i = \left\{ (x_0,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{ 0 \} : x_i \neq 0 \right\}. $$ Se puede comprobar que $U_i$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{ 0 \}$ . Definir $V_i \subset \mathbb{RP}^n$ para ser $\pi(U_i)$ . Entonces, se puede comprobar que $V_i$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{RP}^n$ y $\pi_i = \pi |_{U_i} : U_i \to V_i$ es también un mapa cociente. Los conjuntos $V_i$ , $0 \leq i \leq n$ forman una cubierta abierta de $\mathbb{RP}^n$ .

Demostramos que cada $V_i$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ como sigue. Para cada $0 \leq i \leq n$ , defina el mapa $\psi_i : V_i \to \mathbb{R}^n$ por $$ \psi_i[x_0,\dots,x_n] = \left( \frac{x_0}{x_i},\dots,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},\dots,\frac{x_n}{x_i} \right). $$

Continuidad de $\psi_i$ :
El mapa $\varphi_i = \psi_i \circ \pi_i : U_i \to \mathbb{R}^n$ viene dada por $$ \varphi_i(x_0,\dots,x_n) = \left( \frac{x_0}{x_i},\dots,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},\dots,\frac{x_n}{x_i} \right). $$ Desde $\varphi_i$ es continua, por la propiedad característica de los mapas cotizados $\psi_i$ también es continua.

Bijetividad de $\psi_i$ :
Tenga en cuenta que $\psi_i$ es suryente porque para cada $(u_1,\dots,u_n) \in \mathbb{R}^n$ , $[u_1,\dots,u_i,1,u_{i+1},\dots,u_n] \in V_i$ y $\psi_i([u_1,\dots,u_i,1,u_{i+1},\dots,u_n]) = (u_1,\dots,u_n)$ . Obsérvese que cada elemento de $V_i$ tiene un único representante cuyo $i$ coordenada es igual a $1$ . Este hecho implica fácilmente que $\psi_i$ es inyectiva.

Continuidad de $\psi_i^{-1}$ :
Para cada $0 \leq i \leq n$ , considere el mapa $\theta_i : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{ 0 \}$ dado por $$ \theta_i(u_1,\dots,u_n) = (u_1,\dots,u_i,1,u_{i+1},\dots,u_n). $$ Entonces, $\theta_i$ es continua y su imagen está contenida en $V_i$ . Ahora se comprueba que $\pi_i \circ \theta_i = \psi_i^{-1}$ . Así que, $\psi_i^{-1}$ es continua.

Por lo tanto, $\psi_i$ es un homeomorfismo para cada $0 \leq i \leq n$ .

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Para demostrar que $\mathbb{RP}^n$ es Hausdorff, elija $\tilde{x}$ y $\tilde{y}$ dos puntos distintos en $\mathbb{RP}^n$ .

Si existe $0 \leq i \leq n$ tal que ambos puntos se encuentran en $V_i$ entonces $\psi_i(\tilde{x})$ y $\psi_i(\tilde{y})$ son dos puntos distintos en $\mathbb{R}^n$ . Desde $\mathbb{R}^n$ es Hausdorff, existe un par de conjuntos abiertos disjuntos $A$ y $B$ con $\psi_i(\tilde{x}) \in A$ y $\psi_i(\tilde{y}) \in B$ . Por lo tanto, $\psi_i^{-1}(A)$ y $\psi_i^{-1}(B)$ son subconjuntos abiertos disjuntos de $V_i$ (y por lo tanto de $\mathbb{RP}^n$ ) tal que $\tilde{x} \in \psi_i^{-1}(A)$ y $\tilde{y} \in \psi_i^{-1}(B)$ .

Por otro lado, supongamos que no hay $i$ , $0 \leq i \leq n$ , de tal manera que $\tilde{x}$ y $\tilde{y}$ ambos se encuentran en $V_i$ . Sea $(x_0,\dots,x_n)$ y $(y_0,\dots,y_n)$ sean representantes de $\tilde{x}$ y $\tilde{y}$ respectivamente. Existe $i \neq j$ , $0 \leq i,j \leq n$ , de tal manera que \begin{align} &x_i \neq 0, y_i = 0, \quad \text{ and}\\ &x_j = 0, y_j \neq 0. \end{align} Fijar los representantes para que $x_i = 1 = y_j$ . WLOG, que $i < j$ . Elija $0 < \epsilon < 1$ . Los conjuntos \begin{align} A &= \{ [a_0,\dots,a_{i-1},1,a_{i+1},\dots,a_n] : |a_k - x_k| < \epsilon\ \forall\ k \neq i \} \subset V_i, \quad \text{ and}\\ B &= \{ [b_0,\dots,b_{j-1},1,b_{j+1},\dots,b_n] : |b_k - y_k| < \epsilon\ \forall\ k \neq j \} \subset V_j \end{align} son conjuntos abiertos que contienen $\tilde{x}$ y $\tilde{y}$ respectivamente. Esto se debe a que $\psi_i(A)$ es un rectángulo abierto en $\mathbb{R}^n$ centrado en $\psi_i(\tilde{x})$ con una longitud lateral $2 \epsilon$ , y de forma similar $\psi_j(B)$ es un rectángulo abierto en $\mathbb{R}^n$ centrado en $\psi_j(\tilde{y})$ con una longitud lateral $2 \epsilon$ . Son disjuntos porque si $[a_0,\dots,a_{i-1},1,a_{i+1},\dots,a_n] = [b_0,\dots,b_{j-1},1,b_{j+1},\dots,b_n]$ , entonces debemos tener $a_j \neq 0$ , $b_i \neq 0$ y $a_j b_i = 1$ . Pero, $|a_j| < 1$ y $|b_i| < 1$ Por lo tanto, esto no es posible.

Por lo tanto, $\mathbb{RP}^n$ es Hausdorff, por lo que $\mathbb{RP}^n$ es un $n$ -manifiesto.

Answer 2

Para la propiedad Hausdorff,

Para su primera pregunta tenga en cuenta que las imágenes del $U_i$ en el cociente son conjuntos abiertos, y que éstos forman una cubierta abierta. Sus mapas $\varphi_i$ pasar al cociente e inducir homeomorfismos sobre sus imágenes (¡escribir un mapa inverso!). Si necesitas más detalles, por favor, dímelo.

Answer 3

Dejemos que $\pi : \mathbb{R}^{n+1} \backslash \{ 0 \} \to \mathbb{R}P^n$ denotan el mapa cociente. En mi respuesta a El espacio proyectivo real es Hausdorff: ¿es correcta esta demostración? encontrará una prueba de que

a) $\mathbb{R}P^n$ es Hausdorff.

b) La restricción $\hat{\pi} = \pi \mid_{S^n} : S^n \to \mathbb{R}P^n$ es también un mapa cociente (donde $S^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$ denota la norma $n$ -esfera).

Supongo que sabes que eso $S^n$ es un $n$ -manifold. Para demostrar que también $\mathbb{R}P^n$ es uno, por lo tanto, basta con demostrar que cada vez que se produce un cambio lo suficientemente pequeño $U \subset S^n$ es mapeado por $\hat{\pi}$ homeomórficamente en una $V \subset \mathbb{R}P^n$ .

Dejemos que $x \in S^n$ y $\varepsilon > 0$ . Entonces $U = \{ y \in S^n \mid \lVert y - x \rVert < \varepsilon \}$ está abierto en $S^n$ y para un tamaño suficientemente pequeño $\varepsilon$ vemos que $\hat{\pi}$ mapea el cierre $\overline{U}$ de forma biyectiva sobre $\hat{\pi}(\overline{U})$ . Pero $\overline{U}$ es compacta por lo que este mapeo es un homeomorfismo. Por lo tanto, también $U$ se mapea homeomórficamente en $\hat{\pi}(U)$ . Claramente $\hat{\pi}(U)$ está abierto en $\mathbb{R}P^n$ (Considere $\hat{\pi}^{-1}(\hat{\pi}(U))$ ).