Supongamos que $F$ es un campo local no arquimédico, $G_1$ y $G_2$ son grupos algebraicos conectados (lineales) sobre $F$ y $\phi:G_1\to G_2$ es un homomorfismo suryente de grupos algebraicos. Supongamos que $H$ es un subgrupo compacto hiperespecial de $G_1$ . ¿Es la imagen $\phi(H)$ necesariamente un subgrupo compacto hiperespecial de $G_2$ ?
Respuesta
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Si por "surjetivo" se entiende surjetivo en el sentido habitual (por ejemplo en $\overline{F}$ -puntos) entonces tal vez usted tiene un problema, porque $G_1(F)$ no puede proyectarse sobre $G_2(F)$ . Así, por ejemplo $SL(2)$ se proyecta sobre $PGL(2)$ pero si $R$ son los enteros de $F$ entonces $SL(2,R)$ es hiperespecial máximo compacto pero su imagen en $PGL(2,F)$ no lo es (ni siquiera es máxima, ya que $PGL(2,R)$ contiene estrictamente la imagen de $SL(2,R)$ ).
Sin embargo, si $G_1\to G_2$ es, por ejemplo, un $z$ -entonces (por definición) el núcleo es central en $G_1$ y no tiene $H^1$ , por lo que la secuencia exacta larga muestra $G_1(F)\to G_2(F)$ es sobreyectiva. Además, si he entendido bien las cosas, entonces creo que $G_1$ unramificado obliga a que el núcleo sea unramificado, y si se toma un modelo integral suave de $G_1$ con $G_1(R)$ igual al hiperespecial que pensó, entonces el cociente de este modelo de $G_1$ por el cierre de Zariski del núcleo también será unramificado, y el mismo argumento de cohomología muestra que $G_1(R)$ se proyecta sobre $G_2(R)$ Así que, en este caso, tú ganas.
