Encuentra el límite de $\frac{2+\sqrt{2U_n^2+4U_n+4}}{U_n}$

Question

Dada una secuencia $\{U_n\}$ tal que $U_1>0$ y: \begin{align}U_{n+1}=\frac{2+\sqrt{2U_n^2+4U_n+4}}{U_n}\end{align} Encuentra el límite de $\{U_n\}$

Es fácil cuando sabes que $U_n$ tiene un límite, entonces sería sencillo intercambiar $\lim_{n\to \infty} U_n=L$ en la ecuación, lo que da como resultado $L= \sqrt3 +1$

Sin embargo, ¿cómo puedo demostrar $U_n$ ¿tiene un límite?

He intentado considerar el recíproco de $U_n$ o $V_n=\frac1{U_n}$ y conseguimos que la secuencia salte de un lado a otro.

¿Cómo se puede hacer esto?

Muchas gracias.

Answer 1

Continuando donde lo dejaste:

\begin{align} V_n=\frac{1}{2a_n+\sqrt{1+(2a_n+1)^2}} \end{align}

lo que significa que $0<V_n<1$ .

Consideremos ahora las dos subsecuencias de $V_n$ que son $V_{2k}$ y $V_{2k+1}$ Tenemos que uno de ellos debe aumentar y el otro debe disminuir.

Entonces, por el teorema de Weierstrass, $V_{2k}$ y $V_{2k+1}$ converge.

Ahora sólo queda demostrar que $\lim V_{2k} = \lim V_{2k+1}$ pero esto sería sencillo ya que tienen la misma fórmula.

Por lo tanto, $\lim U_n = L$ existe. $\square$