Demostrando que $\ell_1\subset\ell_2\subset c_0\subset\ell_\infty$

Question

Tengo problemas para mostrar que $\ell_1\subset\ell_2\subset c_0\subset\ell_\infty$ , donde $c_0$ es el subconjunto de $\ell_\infty$ que consiste en todas las secuencias que convergen a 0. En concreto, tengo problemas para demostrar que $\ell_2\subset c_0$ .

Aquí está mi prueba completa: Trivialmente, $c_0\subset \ell_\infty$ por definición de $c_0$ . Desde $\|x\|_1\geq\|x\|_2$ el conjunto de secuencias $x_j\in\mathbb{R}$ tal que $\sum_j|x_j|<\infty$ es menor que el conjunto de secuencias tales que $\sum_j|x_n|^2$ . El subconjunto es adecuado porque $x_n=\frac{1}{n}$ converge en $\ell_2$ (a $\frac{\pi^2}{6}$ ) pero no en $\ell_1$ . Así, $\ell_1\subset\ell_2$ y $c_0\subset\ell_\infty$ . Sólo tenemos que demostrar que $\ell_2\subset c_0$ .

Pero como $x_n=\sum|\frac{1}{n}|^2$ no converge a 0, esto significa que $\ell_2$ no puede ser un subconjunto de $c_0$ . ¿En qué me he equivocado? ¿Me falta una comprensión fundamental de $\ell_p$ ¿espacios?

Answer 1

Estás confundiendo la suma de las series $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ con el límite de la secuencia $\lim_{n\to\infty}a_n$ . Aunque la suma puede ser distinta de cero, es un hecho estándar que si $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge entonces $\lim_{n\to\infty}a_n= 0$ .

En particular, si $\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^2<\infty$ , entonces tomando $a_n=|x_n|^2$ muestra que $\lim_{n\to\infty}|x_n|^2=0$ Por lo tanto, también $\lim_{n\to\infty}x_n=0$ .