¿Hacer una curva suave que pase por el origen exactamente una vez?

Question

Acabo de empezar a leer el libro de do Carmo y este es el primer ejercicio del libro:

Encontrar una curva parametrizada $\alpha (t)$ cuya traza es el círculo $x^2 + y^2 = 1$ tal que $\alpha (t)$ recorre el círculo en el sentido de las agujas del reloj con $\alpha (0) = (0,1)$ .

Mi respuesta es la siguiente:

Dejemos que $\alpha (t) = (\sin t, \cos t)$ y $t \in (-1, 4 \pi)$ . Entonces $\alpha (0) = (0,1)$ y $\alpha ({\pi \over 2} )= (1, 0)$ por lo que está claro que $\alpha$ corre por ahí $(0,0)$ en el sentido de las agujas del reloj.

Después de repasar esto me he dado cuenta de que esto no es una prueba de que da la vuelta al origen en el sentido de las agujas del reloj. El libro no da una definición de "rodear el origen en el sentido de las agujas del reloj". He investigado un poco y he encontrado el número de bobinado . Desgraciadamente, esto está definido para curvas cerradas. Pero el punto inicial y el punto final de mi curva ni siquiera existen, ya que está definida en un intervalo abierto.

De ahí que mi primera pregunta de seguimiento de este ejercicio sea:

(1) Cómo demostrar matemáticamente de forma rigurosa que $\alpha (t) = (\sin t, \cos t)$ donde $t \in (-1, 4 \pi)$ va alrededor del origen ¿en el sentido de las agujas del reloj?

Ahora asumiendo que mi respuesta está bien como está me preguntaba si es posible hacer una curva suave que vaya alrededor del origen exactamente una vez Es decir, $\alpha : (a,b) \to \mathbb R^2$ tal que $\alpha (a) = (1,0) = \alpha (b)$ y $\alpha (x) \neq \alpha (y)$ si $x \neq y$ .

Lo que me preocupa es que el dominio es un intervalo abierto: El libro define las curvas suaves como mapas definidos en $(a,b) \subseteq \mathbb R$ .

(2) ¿Es posible definir una curva suave (imagen del círculo unitario) definida en un intervalo abierto que rodea el origen exactamente una vez?

Después de repasar este ejercicio varias veces me he dado cuenta de otra cosa que también me preocupa:

(3) El enunciado del ejercicio no requiere que la curva sea diferenciable. ¿Es esto a propósito o una errata? ¿Tiene sentido pedir pedir una curva posiblemente discontinua?

Y por último:

(4) Me preguntaba si es imposible definir una curva suave curva $\alpha : (a,b) \to S^1$ que es biyectiva si es posible definir una biyección suave $\alpha : [a,b] \to S^1$ o $\alpha : [a,b) \to S^1$ ?

Answer 1

En aras de responder a tus preguntas, tal y como las has planteado:

1. Una definición razonable de "dar la vuelta al círculo en el sentido de las agujas del reloj" que coincide con la intuición es que si se identifica $\Bbb R^2$ con $\{(x,y,0):x,y\in\Bbb R\}\subset \Bbb R^3$ entonces $\mathbf x(t)\times \mathbf x'(t)=(0,0,z(t))$ para alguna función no positiva $z$ es decir $z(t)\leq 0$ para todos $t$ . A partir de aquí, sospecho que usted mismo puede responder a la pregunta.

   Esto no es del todo correcto, ya que en lugar de "dar la vuelta al círculo en el sentido de las agujas del reloj", es más bien "dar la vuelta al círculo en el sentido de las agujas del reloj en todas partes". Probablemente se podría hacer más gruesa esta restricción exigiendo que en lugar de mantener para todos $t$ se mantiene para un subconjunto "suficientemente grande" de $t$ pero no hay una noción de "suficientemente grande" que coincida con mi intuición.

2. Sinceramente, la definición que se da aquí depende un poco de la respuesta que se crea. Si quieres que la respuesta sea "no", puedes decir que significa $f$ debe ser una biyección. Si quieres que la respuesta sea "sí", puedes decir que $f:(a,b)\to \Bbb R^2$ se extiende a un mapa suave $\tilde f:(\tilde a,\tilde b)\to\Bbb R^2$ con $\tilde a<a<b<\tilde b$ tal que $\tilde f\big|_{[a,b]}$ es una curva cerrada con el número de bobinado 1. (También puede querer $f$ para que sea sobreyectiva, si es que realmente se está sudando el último punto).

   Esta última construcción puede parecer más rebuscada, pero en realidad es una construcción estándar en topología diferencial.

3. En realidad sí: do Carmo define que una curva parametrizada es diferenciable.

4. El intervalo medio abierto es por supuesto posible, su curva puede ser modificada para un ejemplo. El intervalo cerrado no es posible, ya que cualquier biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo (es fácil demostrar, por ejemplo, que es cerrado). El hecho de que $S^1$ y $[a,b]$ no son homeomórficos sigue por su método favorito.

   El intervalo abierto es de nuevo imposible, pero (como muestra el intento hasta ahora) es más sutil. Un enfoque es tomar una extensión continua de $f$ a $[a,b]$ : tomar $\tilde f(a)=\lim_{x\to a}f(x)$ y de forma similar para $f(b)$ Estos límites existen desde $S^1$ es compacto. Pero ahora mira un punto que no es $\tilde f(b)$ pero es $\varepsilon$ -cerca de $\tilde f(a)$ . Esto tiene exactamente una $\tilde f$ -preimagen porque $f$ es una biyección. Como esta preimagen debe ser $\delta$ -cerca de $f^{-1}(\tilde f(a))\neq a$ no puede ser $\delta$ -cerca de $a$ .

   Para hacerlo con rigor, probablemente habrá que invocar la continuidad uniforme de $\tilde f$ pero no pasa nada, ya que el dominio es compacto. También habría que demostrar que se puede forzar $\delta$ para ser lo suficientemente pequeño: esto debería seguir enviando $\varepsilon\to 0$ y señalando que esto obligaría a $f$ para enviar un intervalo completo a $f(a)$ .

Answer 2

¿Entiendo bien que quieres un inyectivo ( $\alpha(x) \neq \alpha(y)$ si $x \neq y$ ), curva suave con imagen del círculo unitario definida en un intervalo abierto?

No existe tal mapa. Hay un sencillo argumento topológico para ello: si se elimina un punto del intervalo $(a,b)$ El intervalo se desconecta, mientras que al eliminar un punto del círculo se mantiene conectado. Dado que la función que está considerando es biyectiva, continua y es una función de un subconjunto de $\mathbb{R}$ a un subconjunto de $\mathbb{R}$ No se puede enviar un espacio formado por dos componentes conectados a un espacio conectado, porque debe haber una biyección entre componentes conectados.

En otro lenguaje, una vez que se da la vuelta al círculo una vez, excepto para dar el punto $(1,0)$ tienes dos opciones. O bien se da el punto para un determinado $t \in (a,b)$ , lo que significa que donde $(t,b)$ se envía, se solaparía con una parte anterior de la curva, o nunca se llegaría al punto $(1,0)$ .

Edición: El hecho de que estemos considerando un mapa de un subconjunto $U$ en $\mathbb{R}$ a un subconjunto V de $\mathbb{R}$ en el argumento topológico, es esencial. De hecho, ser inyectivo y continuo ya es suficiente en este caso, debido a la Invarianza de Dominio ( https://en.wikipedia.org/wiki/Invariance_of_domain ). Esto afirma que tal función es un mapa abierto y como las componentes conectadas son tanto abiertas como cerradas, tal función define una biyección sobre sus componentes conectadas.