Hay una manera sencilla de calcular el número de maneras de escribir un entero positivo, como la suma de tres cuadrados?

Question

Es un estándar teorema de que el número de formas de escribir un número entero positivo de N como suma de dos cuadrados, está dado por cuatro veces la diferencia entre su número de divisores que son congruentes a 1 mod 4 y su número de divisores que son congruentes a 3 mod 4. Como alternativa, no hay ningún tipo de representaciones si la descomposición en factores primos de N contiene alguno de los primos de la forma 4k+3 un número impar de veces. Si la descomposición en factores primos de N contiene todos los números primos un número par de veces, entonces tenemos

r₂(N) = 4(b₁ + 1)(b₂ + 1)...(b,_r+1)

donde b₁, ..., b,_r son los exponentes de los números primos congruentes con 1 mod 4 en la factorización de N.

Por ejemplo, 325 = 5² × 13 puede ser escrito en 4(2+1)(1+1) = 24 maneras como una suma de cuadrados. Estas son las 18² + 1², 17² + 6², 15² + 10², y las representaciones que se obtienen a partir de estas cambiando los signos y/o permuting.

Hay una fórmula análoga en los tres cuadrados caso? Sé que un entero puede ser escrito como la suma de tres cuadrados si y sólo si no es de la forma 4^m(8n+7). No es un simple argumento que muestra que el número de maneras de escribir todos los números enteros de hasta N como suma de tres cuadrados es asintóticamente 4nN^3/2/3 -- representaciones de un entero menor que N como suma de tres cuadrados pueden ser identificados con los puntos de la pelota en R³ con centro en el origen con radio N^1/2. La diferenciación, la "típica" de un número entero cerca de N debe tener sobre 2nN^1/2 representaciones como suma de tres cuadrados. De jugar con algunos de los datos parece

lim_{n → ∞} #{ k ≤ n y r₃(k)/k^1/2 ≤ x} / n

podría ser una constante distinto de cero. Es decir, para cada uno de los reales positivos x, la probabilidad de que un entero aleatorio k puede ser escrito en no más de x k^1/2 formas enfoques algunas constantes en el intervalo abierto (0, 1) cuando k → ∞.

Una manera de probar esto (si es verdad) sería si había alguna fórmula para r₃(k), en términos de la descomposición en factores primos, es por eso que estoy curioso.

(Me disculpo si esto es algo que es bien conocido que el número de teóricos, aunque te agradecería un puntero si es. Yo soy no un número teórico, acabo de jugar con este tipo de cosas muy a menudo y generar divertido conjeturas.)

Answer 1

Respuesta corta: no.

Respuesta media: Para n plaza libre, esto está estrechamente relacionado con el número de la clase de P(sqrt{-n}); este es un resultado de Gauss. Ver Mathworld para una indicación precisa. Este número de la clase puede entonces escribirse en términos de los residuos cuadráticos símbolo. Podemos usar el número de clase de la fórmula para obtener una expresion como una infinita suma, o el uso de Dirichlet de la evaluación de L(1, chi) (mismo enlace de Wikipedia) para dar una expresión finita.

Cuando n no es cuadrada libre, uno puede todavía dar una respuesta en términos del producto del número de clase y ciertos primaria de los factores de corrección, pero que los factores de corrección son tan malos que nadie quiere escribirlas. (Por nadie, me refiero a que la primera media docena de papeles he encontrado en mathscinet no lo haría.)

Respuesta larga: encontré un papel con todos los detalles. Ver Teorema B de Bateman "En las representaciones de un número como la suma de tres cuadrados." Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 71, (1951). 70--101. Eso es correcto, no voy a escribirlo :).

Answer 2

Me puse una buena cantidad de esfuerzo en esto, solo se trata de como la reciente duplicado pregunta fue cerrado. Así que me estoy moviendo.

Yo quería incluir el punto de vista de Burton Wadsworth Jones, en su libro "La Aritmética de la Teoría de las Formas Cuadráticas." El teorema, con muchos de los casos, es que el número de "primitivo" o "adecuado" de las representaciones de $R_{0}(n)$ de un número por $x^2 + y^2 + z^2,$ (significado $\gcd (x,y,z) = 1$) es un múltiplo del número de clase de la formas cuadráticas binarias de discriminante $-4n,$, pero los múltiples cambios dependiendo de las propiedades de la congruencia de $n.$ También hay "suelo" de los casos, aquí $n=1,$, lo que se hace por separado de todos modos.Para obtener el número real de representaciones de un número que no es squarefree es necesario tomar una suma.

Vamos a ver, si $n$ es un múltiplo de 4 no hay primitivas representaciones, como $x^2 + y^2 + z^2 \equiv 0 \pmod 4$ significa que $x,y,z$ son todas iguales. Pero eso está bien, porque esto también significa que el número de representaciones de $4n$ es exactamente el mismo que el número de representaciones de $n.$ También, si $ n \equiv 7 \pmod 8$ no existen representaciones en todo.

Para $n > 1$ y $ n \equiv 1 \pmod 8,$ $\; \; R_{0}(n) = 12 h(-4n).$

Para $ n \equiv 3 \pmod 8,$ $ \; \; R_{0}(n) = 8 h(-4n).$

Para $ n \equiv 5 \pmod 8,$ $ \; \; R_{0}(n) = 12 h(-4n).$

Para $ n \equiv 2 \pmod 8,$ $ \; \; R_{0}(n) = 12 h(-4n).$

Para $ n \equiv 6 \pmod 8,$ $ \; \;R_{0}(n) = 12 h(-4n).$

Sólo para incluir algo que no es del todo apropiado de las representaciones, de la Hecke eigenform método consigue, con p un extraño prime, $$ R(p^2 n) = (p + 1 - (-n|p) ) \; \; R(n) - \; \; p \; R( n / p^2) $$ donde $R(n)$ es el número de representaciones incluyendo correcta e incorrecta, el símbolo de Jacobi $(-n|p)$ se toma como 0 si $p | n,$ mientras $R(n/p^2)$ se toma como 0 si $p^2$ no divide $n.$ Esto aparece en un artículo de Hirschhorn y Vendedores llamado, y yo creo que esto es inteligente, "En las representaciones de un número como suma de tres cuadrados", que apareció alrededor de 1999 en un diario con la palabra "Discretos" en el título. Sólo tengo un preprint aquí.

Answer 3

Simplemente no puedo dejar de mí mismo de poner la siguiente, desde el MOTD en el Berkeley servidor:

Oct 2: Advertencia: Debido a un error conocido, el defecto de Linux visor de documentos
 evince imprime N*N copias de un archivo PDF cuando N copias solicitadas.
 Como solución, el uso de Adobe Reader acroread para imprimir múltiples
 las copias de los documentos PDF, o utilizar el hecho de que cada número natural
 es una suma de más de cuatro plazas.

Answer 4

Ver Granville-Soundararajan, `La distribución de los valores de L(1, \chi)," para (lo que se sabe acerca de la distribución de r_3(n)/sqrt(n).