Transposición en formas cuadráticas (ejemplo: ecuación de Lyapunov)

Question

Me pregunto por qué la ecuación de Lyapunov se deriva así:

Considerar en el sistema $$\dot{x}=Ax$$ Se elige la siguiente función de Lyapunov $$V(x)=x^TPx$$ donde $$\dot{V}(x)=\dot{x}^TPx+x^TP\dot{x}$$ sigue. Utilizando la primera ecuación se obtiene $$\dot{V}(x)=x^T(A^TP+PA)x=-x^TQx$$

Como puedo transponer una forma cuadrática, también podría escribir lo siguiente $$\dot{V}(x)=2\dot{x}^TPx=2x^TA^TPx$$

Lo que significaría que $2A^TP = -Q$ pero supongo que eso es una tontería. ¿Pero qué estoy haciendo mal?

Answer 1

En primer lugar, cabe señalar que $2\,A^\top P = -Q$ sólo es correcta si $P$ es simétrica. Para matrices no simétricas sería $A^\top (P + P^\top) = -Q$ .

Tu planteamiento es válido, sin embargo es más conveniente trabajar con matrices simétricas. A saber:

• Las matrices son definidas positivas si sus partes simétricas sólo tienen valores propios positivos (esto requiere menos pasos si se empieza con una matriz simétrica).
• Para grandes dimensiones, las matrices simétricas requieren aproximadamente la mitad de memoria para almacenarlas en comparación con una matriz no simétrica.
• Para un determinado $A$ y $Q$ la ecuación de Laypunov $A^\top P + P\,A=-Q$ garantiza tener una solución definida positiva para $P$ si $A$ es Hurwitz y $Q$ es definida positiva y hay muchas implementaciones que pueden resolver esto. No estoy seguro de si esto también es válido para su ecuación.

Pero si ha encontrado un positivo definitivo $P$ y $Q$ tal que $A^\top (P + P^\top) = -Q$ entonces eso sería suficiente para demostrar la estabilidad exponencial de $\dot{x}=A\,x$ .