Si $\gcd(m,n)=1$ y $q|mn$ entonces $\exists d,e$ tal que $q=de$ , $d|m$ , $e|n$ , $\gcd(d,e)=1$ y $\gcd(\frac{m}{d},\frac{n}{e})=1$ .

Question

Dejemos que $m,n\in\mathbb{N}$ con $\gcd(m,n)=1$ y $q\in\mathbb{N}$ tal que $q|mn$ . Entonces existe $d,e\in\mathbb{N}$ tal que $q=de$ , $d|m$ , $e|n$ , $\gcd(d,e)=1$ y $\gcd(\frac{m}{d},\frac{n}{e})=1$ .

Estoy intentando demostrar la afirmación anterior, pero sólo puedo llegar hasta aquí:

Como $q\in\mathbb{N}$ entonces existe $d,e\in\mathbb{N}$ tal que $q=de$ . Como $q|mn$ entonces existe $x\in\mathbb{N}$ tal que $mn=qx$ . Pero $q=de$ Así que $mn=x(de)$ . Desde $mn=d(ex)=e(dx)$ entonces $d|mn$ y $e|mn$ .

Ni siquiera sé si lo estoy haciendo bien. Alguna ayuda sería muy apreciada gracias.

Answer 1

Dejemos que $d=\gcd(q,m),\, e=\gcd(q,n)$ . Porque $\gcd(m,n)=1$ obtenemos $de=\gcd(q,mn)$ y porque $q\mid mn$ obtenemos $\gcd(q,mn)=q$ . Por lo tanto, $de=q$ . También $d\mid m,\, e\mid n,\, \gcd(d,e)=1$ como se quiera.

$\gcd\left(\frac{m}{d},\frac{n}{e}\right)=1$ no es necesario tenerlo en cuenta: $\gcd(m,n)=1$ ya lo implica.

Answer 2

Una pista: Dejemos que \begin{align*} d &= \gcd(m,q) \\ e &= \gcd(n,q). \end{align*} Entonces:

• Para demostrar $de = q$ Primero hay que demostrar que $\gcd(m,q) \cdot \gcd(n,q) = \gcd(mn,q)$ ya que $m,n$ relativamente primo. Entonces argumenta que $\gcd(mn,q) = q$ .

• $d | m$ y $e | n$ son inmediatas.

• Para demostrar $\gcd(d,e) = 1$ y $\gcd(\frac{m}{e}, \frac{n}{d}) = 1$ se puede demostrar de forma más general que si $a$ divide $A$ y $b$ divide $B$ entonces $\gcd(a,b)$ divide $\gcd(A,B)$ . Entonces toma $A = m$ y $B = n$ .