Dejemos que $\pi\colon [n] \to [n]$ sea una sustitución tal que $a_i = \pi(i)$ para todos $i$ entre $1$ y $n$ . Si la sustitución $\pi$ da una bonita permutación de $1, \ldots, n$ entonces la sustitución $\pi^{-1}$ también dan una buena permutación, porque $\pi^{-1}(a_i) = i$ y por lo tanto $|j - \pi^{-1}(j)| = |a_{\pi^{-1}(j)} - \pi^{-1}(a_{\pi^{-1}(j)})| = |a_{\pi^{-1}(j)} - \pi^{-1}(j)| \le 2$ para todos $j$ entre $1$ y $n$ . Llamemos a estas sustituciones agradables también.
El número de sustituciones agradables $\pi$ con $\pi(n) = n - 1$ es el mismo que el número de sustituciones agradables $\pi^{-1}$ con $\pi^{-1}(n - 1) = n$ . Y esta es la respuesta a su pregunta.
(Aquí se escribe la misma idea con otras palabras). Que la permutación $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de $1, 2, \ldots, n$ sé amable. Es fácil ver que hay otra permutación $p_1, p_2, \ldots, p_n$ de los mismos números tales que $p_{a_i} = i$ para todos $i$ entre $1$ y $n$ . Esta segunda permutación también es agradable porque $|p_{a_i} - a_i| = |i - a_i| \le 2$ para todos $i$ entre $1$ y $n$ . Y este mapa de permutación $a_1, \ldots, a_n$ a la permutación $p_1, \ldots, p_n$ es uno a uno (biyectivo). Esto significa que hay igual número de permutaciones $a_1, \ldots, a_n$ y permutaciones $p_1, \ldots, p_n$ . También $a_n = n - 1$ si y sólo si $p_{n - 1} = n$ . Estas observaciones implican que el número de permutaciones agradables con $a_n = n - 1$ es igual al número de permutaciones agradables con $a_{n - 1} = n$ .
