Hoja de ruta para la investigación moderna en ecuaciones diferenciales parciales

Question

Permítanme empezar con una descripción de mis antecedentes. Soy un estudiante universitario, con algunos conocimientos de análisis real (Rudin, Principles of Mathematical Analysis), teoría de la medida (Royden, Real Analysis: Parts I and III) y un poco de análisis funcional (los cinco primeros capítulos de 'Real and Complex Analysis' de Rudin). No sé nada de geometría, más allá de 'Introduction to Manifolds' de Loring Tu. Además, para que te hagas una idea, tengo conocimientos de álgebra a partir de "Álgebra Abstracta" de Dummit y Foote, hasta la sección sobre la teoría de Galois, pero sin incluirla. También conozco un poco de teoría espectral de 'A Short Course in Spectral Theory' de William Arveson.

Hace poco hice un curso sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, en el que seguimos una combinación de "Ecuaciones diferenciales ordinarias" de Arnold y "Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas" de George Simmons. Me gustó el curso, y decidí estudiar las ecuaciones diferenciales parciales a partir de "Ecuaciones diferenciales parciales" de Evans.

Me gustaría tener una hoja de ruta que responda a las siguientes preguntas:

1. ¿Qué áreas relacionadas de las matemáticas necesitaría conocer para entender los trabajos de nivel de investigación en la materia? Aquí, entiendo que podría haber muchas fronteras de la asignatura, cada una de las cuales requiere su propio conjunto de requisitos previos. Busco una respuesta que explique qué es exactamente lo que pretende hacer el área de investigación y cuáles serían los contenidos prerrequisitos para trabajar en esa área. Si ciertas cosas se requieren sólo en partes como prerrequisitos, agradecería mucho que me nombraran los teoremas o las secciones de los libros que tendría que leer.

2. ¿Qué podría leer inmediatamente después de leer a Evans? He oído que la serie de tres volúmenes de Michael Taylor es buena, y pienso echarle un vistazo, pero se agradecerían más recomendaciones bien dirigidas (es decir, hacia una subárea específica de investigación).

3. Si pudieras estimar el tiempo que te llevaría (de media) estudiar el material que sugieres, sobre todo si no es un libro que lo mencione, te lo agradecería, ya que ayuda a saber si estoy apurando las cosas (en cuyo caso, a menudo no recuerdo nada después) o estoy yendo demasiado despacio (en cuyo caso, intentaré buscar ayuda de algunos estudiantes más avanzados o de un profesor).

Gracias.

Answer 1

La PDE es MUY amplia. Será prácticamente imposible responder a esta pregunta de forma general. Apoyo de corazón la recomendación de leer el tratado de tres volúmenes de Taylor. Realmente enfatiza el punto de vista microlocal, que es enormemente útil en muchas áreas de la EDP, y es un buen contraste con Evans. Por cierto, Michael Taylor está en mi departamento y sus conocimientos sobre la EDP son realmente enciclopédicos.

Ahora, trataré de abordar un poco su pregunta real. Si realmente has estudiado a Evans, deberías estar preparado para empezar a sumergirte en la literatura de investigación. Por el camino también deberías empezar a tener algunas ideas sobre qué tipo de problemas te interesan. Podrías empezar a mirar artículos interesantes al mismo tiempo que te abres camino con el nuevo material de Taylor. A partir de ahí, yo decidiría qué tipo de otros "requisitos previos" son necesarios en función de los artículos que estés leyendo. En mi opinión, este es un camino mucho más eficiente para estudiar matemáticas a nivel de investigación que intentar primero reunir todos los posibles conocimientos previos (si es que esto último es realmente posible).

A modo de anécdota, pondré un ejemplo. Para mi tesis de maestría, estudié un problema relacionado con el funcional Alt-Caffarelli-Friedman. Empecé trabajando con las partes pertinentes de Evans (ecuación de Laplace, espacios de Sobolev, ecuaciones elípticas de segundo orden y cálculo de variaciones). Después, me puse a leer el artículo de Alt y Caffarelli sobre el problema de una fase y otras publicaciones de investigación relevantes (Alt-Caffarelli-Friedman, Littman-Stampacchia-Weinberger, etc.). Por el camino, tuve que dar algunos rodeos hacia algún análisis funcional particular y una buena dosis de teoría de medidas geométricas.

En resumen, la investigación sobre las EDP es un tema enorme y utiliza herramientas de todas las matemáticas. Esto dependerá especialmente del problema que se quiera estudiar. En lugar de obtener primero todos los conocimientos previos posibles, es mucho mejor (1) obtener algunos conocimientos básicos de EDP (Evans + Taylor lo harían), (2) empezar a leer investigaciones interesantes, (3) identificar dónde faltan tus conocimientos previos para el problema concreto que tienes entre manos y luego (4) hacer el estudio previo necesario (a menudo puedes buscar en las referencias del documento que estás leyendo para encontrar buenos recursos para esto).

En cuanto a la línea de tiempo: Yo diría que si estás preparado para empezar a estudiar a Evans, entonces podrías estar listo para empezar a sumergirte en las matemáticas de investigación dentro de un semestre o tal vez un año (dependiendo de lo rápido que te muevas, lo selectivamente que leas, etc).

En aras de la exhaustividad, quiero añadir algunos "prerrequisitos" específicos que han sido útiles en mi rincón del mundo de la EDP (asumiendo lo básico como se da). Su kilometraje variará dependiendo de donde usted va en PDE.

(1) Análisis armónico: descomposición de Littlewood-Paley, diversas estimaciones y análisis multilineales, análisis de Fourier, etc. El análisis armónico de Stein es excelente para este material. Además, recomendaría los dos volúmenes Classical and Multilinear Harmonic Analysis de Muscalu y Schlag, así como Wavelets: Calderón-Zygmund and Multilinear Operators de Coifman y Meyer.

(2) Análisis microlocal - operadores pseudodiferenciales, operadores paradiferenciales y paraproductos, localización de frecuencias, la noción de conjunto de frente de onda y más. Para este material, Michael Taylor tiene algunas referencias maravillosas: Volúmenes II y III de su texto sobre EDP, Pseudodifferential Operators and Nonlinear PDE, Tools for PDE). Para-differential Calculus and Applications to the Cauchy Problem for Nonlinear Systems de Métivier es una gran referencia estándar para el cálculo paradiferencial. Los cuatro volúmenes de Hörmander son estupendos, por supuesto. Por último, destacaría Pseudodifferential Operators and the Nash-Moser Theorem de Alinhac y Gerard, el libro de Coifman-Meyer que mencioné antes tiene buen material sobre paraproductos y operadores paradiferenciales y Microlocal Analysis for Differential Operators de Grigis y Sjöstrand.

(3) Teoría de la medida geométrica: teoría de las curvas rectificables, conjuntos de perímetro finito, etc.; la noción de normal aproximada y de espacio tangente aproximado; la noción de límites de explosión; la teoría de la regularidad de las superficies mínimas; y mucho más. Geometric Measure Theory de Federer es una referencia clásica. También, Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation de Giusti. Los apuntes de Simon son buenos, así como el libro de Maggi Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems.