polinomio mónico de coeficientes enteros todas las raíces es $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ y tal $|a_{i}|<1(i=1,2,\cdots,n-1)$

Question

Dar un polinomio mónico $P(x)$ con coeficientes enteros todas las raíces es $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ y tal $$|a_{i}|<1(i=1,2,\cdots,n-1)$$ y $a_{i}\neq 0(i=1,2,\cdots,n)$ , si $a^2_{i}=a_{j}\cdot a_{k}$ demuestran que $i=j=k$

¿Alguien ha visto esto antes, o puede dar un contraejemplo?

Answer 1

Los ejemplos más sencillos de polinomios como los anteriores son $x^2-x-1, x^3-x-1, x^4-x^3-1$ . No es tan difícil demostrar que hay polinomios así para cualquier grado utilizando un poco de teoría geométrica de los números. Nótese que todos esos polinomios deben ser irreducibles sobre los enteros, ya que no existe ningún polinomio integral mónico con todas las raíces distintas de cero y todas estrictamente menores que $1$ en valor absoluto.

Polinomios mínimos para Números de Pisot son precisamente de este tipo (los números de Pisot son enteros algebraicos reales positivos para los que todos sus conjugados son menores que $1$ en valor absoluto)

Dado que existe una $\mathbb Q(a_1,a_2,..a_n)$ automorfismo $\sigma$ que lleva $a_i$ a $a_1$ (la única raíz de módulo mayor que $1$ ), obtenemos $a_1^2=\sigma(a_j)\sigma(a_k)$ lo que implica $\sigma(a_j)=\sigma(a_k)=a_1$ así que $a_i=a_j=a_k$