El punto donde la tangente de la función "pendiente" es igual a cero

Question

Relacionado con la pregunta sobre: Problema de cálculo de la Olimpiada

Me pregunto si este lema es cierto:

Dejemos que $F\in C^2[0,1]$ tal que $F(0)=F'(0)=F'(1)=0$ . Sea $G:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ definido por

$\begin{align*}G(x)&:=\frac{F(x)}{x} \qquad &x\in (0,1] \\ &:=0 \qquad &x=0\end{align*}$

Entonces existe $c\in (0,1)$ tal que $G'(c)=0$ .

Geométricamente, podemos ver $G(x)$ como la pendiente de la recta secante de $F(x)$ desde el origen en cualquier punto $x$ .

Answer 1

Creo que este lema es efectivamente cierto.

$G$ es una función continua en $[0,1]$ (trivial) por lo que tiene un máximo y un mínimo. Queremos comprobar que al menos uno no se alcanza en 0 o 1. Si F es distinto de cero y $F(1)=0$ , entonces G toma valores no nulos y uno de los extremos no se alcanza en 0 o 1. Supongamos ahora que F(1) es positivo (si es necesario, consideremos $-F$ ; si es cero, entonces desde). $G(0)=0$ y $G$ toma valores positivos por lo que 0 no es el máximo de $G$ en $[0,1]$ . Ahora probaremos $G(1)$ no es el máximo de $G$ .

Supongamos que $\forall x \in [0,1], G(x) \leq G(1)$ Por lo tanto $\forall x \in [0,1], F(x) \leq x F(1) = \varphi(x)$ . $F(1-h) = F(1) + o(h)$ (ya que $F'(1)=0$ ) y $\phi(1-h) = F(1) - h F'(1)$ . Así que, $F(1-h) - \varphi(1-h) = h F'(1) + o(h)$ ; este es positivo en una vecindad de cero. Contradicción alcanzada, por tanto $G(1)$ no es el máximo de $G$ .

$G$ por lo que alcanza un máximo en un punto $c \in (0,1)$ por lo tanto, $G'(c)=0$ .

(No estoy 100% seguro de que sea correcto, ya que no utiliza el $C^2$ hipótesis.