El teorema de Bayes se define tanto para variables discretas en términos de probabilidades como para variables continuas en términos de densidades. Si las variables aleatorias $X,Z$ se distribuyen conjuntamente, con $f_X(x)$ densidad continua de $X$ y $p_Z(z)$ la masa de probabilidad discreta en $Z=z$ ¿se cumple el teorema de Bayes en el sentido de que $$p_{Z|X}(z) = \frac{f_{X|Z}(x)p_Z(z)}{f_X(x)}?$$ Si no es así, ¿existe un análogo para esas mezclas discretas-continuas?
Respuesta
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Sí.
Una distribución conjunta $f_{X,Z}(x, z)$ de la variable continua $X \sim f_X$ y la variable discreta $Z \sim p_Z$ se define como cualquier función no negativa de $x$ y $z$ que satisface
$$ \int f_{X,Z}(x, z) dx = p_Z(z), $$
$$ \sum_z f_{X,Z}(x, z) = f_X(x). $$
Para una determinada distribución $f_{X,Z}$ se definen las distribuciones condicionales:
$$ p_{Z \mid X}(z) \equiv \frac{f_{X,Z}(x, z)}{f_X(x)}, $$ y
$$ f_{X \mid Z}(x) \equiv \frac{f_{X,Z}(x, z)}{p_Z(z)}. $$
Observa que ambas expresiones satisfacen la condición de unidad propia cuando aplicas la suma o integral de antes.
La forma mixta del teorema de Bayes se puede obtener simplemente reordenando las fórmulas anteriores para la distribución condicional. Reordenando la segunda ecuación para $f_{X,Z}(x, z)$ y sustituyendo el resultado en la primera ecuación, se obtiene
$$ p_{Z \mid X}(z) = \frac{f_{X \mid Z}(x) p_Z(z)}{f_X(x)}. $$
