El teorema de Bayes se define tanto para variables discretas en términos de probabilidades como para variables continuas en términos de densidades. Si las variables aleatorias X,Z se distribuyen conjuntamente, con fX(x) densidad continua de X y pZ(z) la masa de probabilidad discreta en Z=z ¿se cumple el teorema de Bayes en el sentido de que pZ|X(z)=fX|Z(x)pZ(z)fX(x)? Si no es así, ¿existe un análogo para esas mezclas discretas-continuas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Sí.
Una distribución conjunta fX,Z(x,z) de la variable continua X∼fX y la variable discreta Z∼pZ se define como cualquier función no negativa de x y z que satisface
∫fX,Z(x,z)dx=pZ(z),
∑zfX,Z(x,z)=fX(x).
Para una determinada distribución fX,Z se definen las distribuciones condicionales:
pZ∣X(z)≡fX,Z(x,z)fX(x), y
fX∣Z(x)≡fX,Z(x,z)pZ(z).
Observa que ambas expresiones satisfacen la condición de unidad propia cuando aplicas la suma o integral de antes.
La forma mixta del teorema de Bayes se puede obtener simplemente reordenando las fórmulas anteriores para la distribución condicional. Reordenando la segunda ecuación para fX,Z(x,z) y sustituyendo el resultado en la primera ecuación, se obtiene
pZ∣X(z)=fX∣Z(x)pZ(z)fX(x).