A menudo he escuchado a la gente hablar de, digamos, "la" torcida $S^2$ -Acabar con el paquete $S^2$ . Mi pregunta es, ¿qué quieren decir con un bulto retorcido? Sé que en el ejemplo anterior cualquier $S^2$ -Acabar con el paquete $S^2$ es $S^2 \times S^2$ o un único no trivial $S^2$ -Acabar con el paquete $S^2$ . ¿Pero es así como se define? ¿Es un haz retorcido sólo uno no trivial, o es un paquete específico entre los no triviales?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$S^2$ paquetes sobre $S^2$ (suave, PL, topológico) están en correspondencia biyectiva con las clases de homotopía de los mapas:
$$ S^2 \to BSO_3 $$
que hasta la homotopía es
$$\pi_2 BSO_3 \simeq \pi_1 SO_3 \simeq \mathbb Z_2 $$
Así que hay precisamente dos no isomórficos $S^2$ -bundles over $S^2$ . Puede ver la información no trivial $S^2$ -como la compactación en un punto de la fibra del haz vectorial sobre $S^2$ cuya clase de Euler es $1$ . Ese haz de vectores tiene construcciones bastante estándar.
