Diga si la relación es reflexiva, simétrica, asimétrica, antisimétrica o transitiva.

Question

Diga si la relación es reflexiva, simétrica, asimétrica, antisimétrica o transitiva.Identifique las relaciones de equivalencia o los órdenes parciales.

$R$ es la relación sobre las personas tal que $a R b$ si $a$ y $b$ nacieron en el mismo año.

Así que tengo una idea del significado de cada uno de los términos simétrico, asimétrico, etc, pero sólo estoy familiarizado con la forma de probar estos utilizando una matriz. ¿Cómo puedo ver si la relación es reflexiva, etc., sin hacer una matriz?

Answer 1

Deberías preguntarte:

(1) ¿Es cierto para todas las personas $x$ que $x$ nació el mismo año que $x$ ¿a él o a ella misma? (Reflexivo).

(2) ¿Es cierto para todas las personas $x,y$ , si $x$ nació el mismo año que $y$ ¿se deduce necesariamente que $y$ nació el mismo año que $x$ ? (Simétrico).

A ver si a partir de ahí puedes averiguar el transitivo y los demás.

Answer 2

Puedes leer la definición de una relación binaria en Wikipedia. El ejemplo 1.2 da una buena idea de cómo se debe trabajar con las relaciones en general. La sección "Relaciones sobre un conjunto" explica lo que son las relaciones reflexivas, simétricas, etc... con las definiciones correctas.

Entonces, ¿cómo se verifica, por ejemplo, que su relación $R$ es reflexivo? En términos formales, hay que verificar que $aRa$ lo que significa que $a$ nace en el mismo año que $a$ Lo cual es trivialmente cierto, ¿no? Si tienes que escribir una solución, te sugeriría que escribieras algo como "Para todos $a$ es evidente que $a$ nace en el mismo año que $a$ Así que $aRa$ . Por lo tanto, $R$ es reflexivo".

Ahora, vamos a comprobar que $R$ es no antisimétrico. La antisimetría es la propiedad de que " $aRb$ y $bRa$ implica $a=b$ ", o, en términos de su relación, si tiene dos personas $a$ y $b$ tal que $a$ nace en el mismo año que $b$ y $b$ nace en el mismo año que $a$ entonces $a=b$ . Simplemente tome dos personas diferentes $a$ y $b$ que nacen en el mismo año. A continuación, $aRb$ y $bRa$ pero $a\neq b$ Así que $R$ no es antisimétrico.

Para verificar la simetría, hay que probar o refutar que, si $a$ nace en el mismo año que $b$ entonces $b$ nace en el mismo año que $a$ . ¿Qué te parece? Voy a dejar el resto para que lo resuelvas tú mismo.