Elipsoide pero no del todo

Question

Tengo un elipsoide centrado en el origen.
https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid
Suponga $a,b,c$ son expresados en $mm$.

Supongamos que queremos cubrir con un uniforme
abrigo/capa, que es la $d$ mm de espesor (uniformemente).

Me acabo de dar cuenta que en el caso general,
el nuevo cuerpo/sólidos no es un elipsoide.
Me pregunto:
¿Cómo puedo calcular el volumen de un cuerpo nuevo?
¿Cuál es la ecuación de la superficie?

Supongo que es algo que puede ser calculada a través de integrales pero, ¿cómo exactamente, no lo sé.

También, pienso que esta operación puede ser aplicado a cualquier otro bien conocido sólido (la adición de una capa uniforme/capa a su alrededor). Hay un método general para hallar el volumen de un cuerpo nuevo (el que se formó después de la adición de la capa)?

Answer 1

Deje $\mathcal{E} = \{ (x,y,z) \mid \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \le 1 \}$ ser el elipsoide en la mano.

El nuevo cuerpo de $\mathcal{E}_d$ es la suma de Minkowski de $\mathcal{E}$$\bar{B}(d)$, el cierre de la bola de radio $d$. es decir,

$$\mathcal{E}_d = \{ p + q : p \in \mathcal{E}, q \in \bar{B}(d) \}$$

Desde $\mathcal{E}$ es un cuerpo convexo, el volumen de $\mathcal{E}_d$ tiene una muy simple dependencia de la $d$. Tiene la forma:

$$\verb/Vol/(\mathcal{E}_d) = V + A d + 2\pi \ell d^2 + \frac{4\pi}{3}d^3\tag{*1}$$

donde $V$, $A$ y $\ell$ es el volumen, área superficial y algo conocido como anchura media de $\mathcal{E}$.

El problema es la de un elipsoide, la expresión para $A$ $\ell$ muy complicado integrales.
Si yo no cometí ningún error, ellos son: $$\begin{align} A &= abc\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \sqrt{(a^{-2}\cos^2\phi + b^{-2}\sin^2\phi)\sin^2\theta + c^{-2}\cos^2\theta} \sin\theta d\theta d\phi\\ \ell &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\sqrt{(a^2\cos^2\phi + b^2\sin^2\phi)\sin^2\theta + c^2\cos^2\theta} \sin\theta d\theta d\phi \end{align}\etiqueta{*2}$$

Buena suerte para calcular la integral.

Actualización

Al $a = b$, la integral simplificar a algo elemental.

Para el caso especial $a = b \ge 1, c = 1$, por un cambio de variable $t = \cos\theta$, tenemos:

$$\begin{align} A &= 4\pi a\int_0^1 \sqrt{(1 + (a^2 - 1)t^2}dt = \frac{2\pi a}{a^2-1}\left(\sqrt{a^2-1}\sinh^{-1}(\sqrt{a^2-1}) + a(a^2-1)\right) \\ \ell &= 2\int_0^1 \sqrt{a^2 + (1-a^2)t^2}dt = \frac{a^2}{\sqrt{a^2-1}}\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}\right) + 1 \end{align} $$ Para un caso de prueba, cuando $a = b = 2, c = d = 1$, nos encontramos con

$$\begin{align} \verb/Vol/(\mathcal{E}_1) - V &= A + 2\pi \ell + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}\left( 12 \sinh^{-1}(\sqrt{3}) +8 \pi +34\sqrt{3}\right)\\ &\approx 60.35475634605034 \end{align} $$ Coincide con el número de Euler proyecto 449 que motiva a esta pregunta.

En mi humilde opinión, no creo que Euler proyecto esperar de uno a saber

1. la fórmula de volumen de la $(*1)$.
2. o cómo calcular las integrales en $(*2)$.

No debería ser más elemental manera de obtener el mismo resultado para el caso especial $a = b$.
Que parte probablemente sello en el pie de Euler proyecto. Yo mejor parar aquí.

Answer 2

Si $d$ << cualquiera de los puntos ( a,b,c ) sólo necesita encontrar el área de la superficie (el uso de la elíptica de las integrales en la Wikipedia) y multiplicar por $d$. La pérdida de precisión mediante una capa de pintura de espesor entre el elipsoide y Huygen la wavelet tipo de cuerpo no es en vano o que vale la pena en la práctica de ingeniería.

Es como: un tubo delgado de radios $ b-a =t$ nos tomamos de la sección transversal de área a se $2 \pi a t$ o $2 \pi b t$ o $ \pi (a+b) t$, pero no se preocupan por la segunda orden, diferencias o inexactitudes que se pierden al no tener en cuenta una más correcta:

$$ \pi ( b^2-a^2). $$

EDIT 1:

Si yo soy el encargado de calcular la pintura en spray de volumen, etc., Yo me conformaría para una aproximación como:

$$ A \approx \frac{12 \pi a b c }{(a+b+c)} $$

EDIT 2:

Si d no es despreciablemente pequeña, el exterior de todos modos, no siendo un elipsoide y podemos tomar el promedio de los semi-ejes y la aproximación puede ser:

$$ Vol. \approx \frac{12 \pi \bar a \bar b \bar c d }{(\bar a+\bar b+ \bar c)} $$

Para a = b =2, c=d=1 da V = 54.3737.

Ya que es una media armónica sería un límite inferior.

Answer 3

Deje $(x,y,z)=(a\sin u \cos v, b\sin u \sin v,c\cos u)$ en la elipse $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$, entonces la unidad vector normal es

$$\mathbf{n}= \frac{\displaystyle \left(\frac{x}{a^2},\frac{y}{b^2},\frac{z}{c^2} \right)} {\displaystyle \sqrt{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}}}$$

A continuación, la nueva superficie tendrá las coordenadas de

$$(x',y',z')=(x,y,z)+d\mathbf{n}$$

que ya no sea un quadric más.

En particular, si $d <-\frac{1}{\kappa} <0$ donde $\kappa$ es uno de los principales curvaturas, a continuación, la superficie interior se han auto-intersección.

Si tratamos de reducir la dimensión de tres (elipsoide) a dos (elipse) y la configuración de $a=1.5,b=1$, la unidad de vectores normales (hacia adentro) no apunta en la línea recta (es decir, la elipse degenerada $\displaystyle \frac{x^{2}}{0.5^{2}}+\frac{y^{2}}{0^{2}}=1$).

Y también la discrepancia de otro caso

Answer 4

Sugerencia:

Tomar una unidad de la esfera de radio $1$ y se cubre con una capa uniforme de espesor $t$. El volumen total es $\dfrac43\pi(1+t)^3$.

Si usted dilatar la esfera no-uniformemente con factores de $a<b<c$, se obtiene el elipsoide con una capa de un espesor comprendido entre la $at$$ct$. Con $t=\frac da$, la capa que está en todas partes más gruesas de $d$; con $t=\frac dc$, la capa que está en todas partes más delgadas de $d$.

A partir de estas consideraciones se puede deducir que el horquillado

$$\dfrac43\pi abc(1+\frac dc)^3<V<\dfrac43\pi abc(1+\frac da)^3.$$

Answer 5

Edit: Esta prueba es incorrecta, y la propuesta de respuesta es incorrecta. Como se ha señalado por @TonyK en los comentarios, en el cálculo de la pendiente es malo.

Voy a dejar la respuesta en este caso, sin embargo, porque ver a una incorrecta de la prueba es a menudo tan instructivo como ver a una correcta.

Sugerencia: Como resulta que el "engrosamiento" del elipsoide es otra elipsoide. Usted puede mostrar con un poco de esfuerzo que en caso de que el elipsoide es $$\left(\frac xa\right)^2 + \left(\frac yb\right)^2+ \left(\frac zc\right)^2=1$$ a continuación, la externamente elipsoide externamente thicked por $\epsilon$ tiene una superficie exterior $$\left(\frac x{a+\epsilon}\right)^2 + \left(\frac y{b+\epsilon}\right)^2+ \left(\frac z{c+\epsilon}\right)^2=1$$ Así, el volumen de cálculo para la nueva superficie es esencialmente el mismo que el cálculo de la superficie original, suponiendo que usted puede hacer eso. Los dos elipsoides no sean similares, a menos que $a=b=c$.

Addendum: Este es el cálculo que he usado. Originalmente, yo sólo lo hice para una elipse. Pero el cálculo es igual de fácil para un elipsoide. Así que supongamos que tenemos un elipsoide $E$ $$\left(\frac xa\right)^2 + \left(\frac yb\right)^2+ \left(\frac zc\right)^2=1\tag{1}$$ y consideremos el elipsoide $E'$ $$\left(\frac x{a+\epsilon}\right)^2 + \left(\frac y{b+\epsilon}\right)^2+ \left(\frac z{c+\epsilon}\right)^2=1\tag{2}$$ Considerar el punto de $P(x_0,y_0,z_0)$ $E$ (WLOG, trabajamos en el primer octante donde todas las coordenadas son positivas) y forma el punto de $$Q((1+\tfrac{\epsilon}a)x_0,(1+\tfrac{\epsilon}b)y_0,(1+\tfrac{\epsilon}c)z_0)$$

Reivindicación 1: $P$ $Q$ $\epsilon$ unidades de distancia.

Prueba:$$|Q-P|^2 = |((1+\tfrac{\epsilon}a)x_0,(1+\tfrac{\epsilon}b)y_0,(1+\tfrac{\epsilon}c)z_0)-(x_0,y_0,z_0)|^2$$ $$=|((\tfrac{\epsilon}a)x_0,(\tfrac{\epsilon}b)y_0,(\tfrac{\epsilon}c)z_0)|^2$$ $$=\epsilon^2|(\tfrac{x_0}a,\tfrac{y_0}b,\tfrac{z_0}c)|^2$$ $$=\epsilon^2((\tfrac{x_0}a)^2 + (\tfrac{y_0}b)^2 + (\tfrac{z_0}c))^2 = \epsilon^2$$ desde $P$ se encuentra en $E$. $\blacksquare$

Reivindicación 2: Q se encuentra en $E'$.

Prueba: Escribir $Q$ $$Q=((1+\tfrac{\epsilon}a)x_0,(1+\tfrac{\epsilon}b)y_0,(1+\tfrac{\epsilon}c)z_0)$$ $$= \left((a+\epsilon)\tfrac{x_0}a,(b+\epsilon)\tfrac{y_0}b,(c+\epsilon)\tfrac{z_0}c\right)$$

A continuación, $Q$ satisface la ecuación de $(2)$ porque $P$ satisface la ecuación de $(1)$ ya que por hipótesis de $P$ se encuentra en $E$. $\blacksquare$

Reivindicación 3: $Q$ se encuentra en la recta normal a$E$$P$.

Prueba: con Respecto a $(1)$$F(x,y,z)=1$, se puede formar el vector gradiente $\nabla F(x_0,y_0,z_0) = (2x_0/a,2y_0/b,2z_0/c)$ lo cual es normal a$E$$(x_0,y_0,z_0)$. Así, una ecuación de la recta normal a $E$ $P$ es

$$(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t(\tfrac{x_0}a,\tfrac{y_0}b,\tfrac{z_0}c)$$ que puede ser escrito $$(x,y,z) = \left( (1+\tfrac ta)x_0,(1+\tfrac tb)y_0,(1+\tfrac tc)z_0\right)$$

Tomando $t=\epsilon$, recuperamos $Q$, lo $Q$ se encuentra en esta línea. $\blacksquare$

Las reivindicaciones 1, 2, y 3, en conjunto, muestran que $E'$ es obtenido por el engrosamiento $E$ $\epsilon$ unidades. Cada punto en $E$ se trasladó hacia el exterior por $\epsilon$ unidades a lo largo de la normal en ese punto a la forma $E'$. Esto concluye la prueba.