CI para la raíz cuadrada de Poisson

Question

Pregunta: para $x_1...x_n \sim Pois(\lambda)$

1. Encuentre una IC para $\lambda$ (utilizando la MLE).

2. Encuentre una IC para $\psi=\sqrt \lambda$

Lo que hice:

El 1, encontré que el MLE es $\bar x$ y luego usando la aproximación normal (lo único que sabemos hacer en este curso) calculé $\mu=\lambda, \sigma=\sqrt \frac \lambda n$ por lo que el $CI = [\hat \lambda \pm Z_{1-0.5a}\sqrt{\frac {\hat \lambda} n}] $ . Quiero verificar la exactitud del IC. y además - no sé realmente cómo hacer la parte 2. No puedo utilizar la linealidad de la expectativa para calcularla...

Answer 1

Bueno, has ido sobre 1 correctamente. Es importante mencionar que la VR de Poisson es una familia exponencial regular y $\lambda$ es la parametrización natural. El intervalo de confianza para $\sqrt{\lambda}$ se puede derivar de dos maneras, dependiendo de cómo se haya calculado el IC en 1. El método de fuerza directa sería reparametrizar la densidad de Poisson en términos de $\psi$ y luego calcular el MLE y su información. La forma más sencilla de hacerlo es utilizando el método Delta.

Answer 2

Creo que tu intervalo para la parte (1) es realmente erróneo (aunque casi correcto). Es el $Z$ que parece estar fuera de lugar. Fíjate bien; el subíndice es incorrecto al menos en un sentido y probablemente en un par de sentidos.

Pasemos a la siguiente parte:

Si $g$ es una función monótona creciente, y $(l,u)$ es un $1−α$ intervalo para $θ$ entonces $(g(l),g(u))$ será un $1−α$ intervalo para $g(θ)$ .

(Se puede demostrar que hereda la misma cobertura por simple transformación del enunciado de la probabilidad para el IC original, pero no veo que se espere que lo demuestre aquí)

Es decir, se puede escribir a intervalo de confianza para $\sqrt \lambda$ inmediatamente, aunque no será simétrica respecto a la estimación del parámetro transformado (lo que no me parece un problema).

El enfoque alternativo sería escribir una aproximación normal para la raíz cuadrada de Poisson, pero es mucho más trabajo. Por otro lado, la aproximación normal es mucho mejor para la Poisson transformada.