Demostrar para cualquier $K \leq G$ , ya sea $K \leq N$ o $KN=G$ y $[K:K \cap N]=p$ donde N es normal en G y $[G:N]=p$

Question

La pregunta completa: supongamos que N es normal en G y $[G:N]=p$ es un primo. Demostrar que para cualquier $K \leq G$ (1) $K \leq N$ o (2) $KN=G$ y $[K:K \cap N]=p$ .

Desde $N,K \leq G$ Por supuesto, es posible que $K \leq N$ podría suceder.

pero para (2), podemos demostrar $KN \subseteq G$ pero cómo podemos mostrar $KN=G$ ?

¿Y qué información tiene " $[G:N]=p$ ¿"nos dan"?

Answer 1

Porque $N$ es normal, $KN$ es un subgrupo. $[G:N]$ siendo primo significa que cualquier subgrupo $M\subseteq G$ con $N\subseteq M$ debe ser $N$ o $G$ .

Answer 2

Otra forma de ver esto y de usar eso $G/N \cong C_p$ sólo tiene dos subgrupos: mira la imagen canónica de $K$ en $G/N$ , siendo $KN/N$ . Entonces $KN/N=G/N$ o $KN/N=\bar{1}=N/N$ . Por lo tanto, $G=KN$ o $KN=N$ y esta última equivale a $K \subseteq N$ . Utilizando el $2$ n teorema de isomorfismo: $KN/N \cong K/K \cap N$ Así que si $G=KN$ entonces $|K:K \cap N|=p$ .

Answer 3

Nuestra estrategia será demostrar que si (1) es falso, entonces (2) es verdadero. Por lo tanto, supongamos $K$ no está contenida en $N$ para que $N$ es un subgrupo propio de $NK$ . Considera la siguiente ecuación,

$$[G:NK][NK:N]=[G:N]=p.$$

Desde $p$ es primo su única factorización es $p=1\cdot p$ . Tenemos que $[NK:N] >1$ porque $N$ es un subgrupo propio de $N$ . Así que $[NK:N]=p$ y $[G:NK]=1$ es decir $G = NK$ .

Finalmente, por el Segundo teorema del isomorfismo ,

$$[K:N \cap K] = [KN : N] = [G:N] = p$$

que es lo que queríamos.