¿Puede un espacio de Frechet incrustarse en una potencia de otro espacio de Frechet?

Question

Sé que tal incrustación es posible para el espacio de Kolmogorov ya que un espacio topológico $X$ es Kolmogorov si y sólo si $X$ se puede incrustar en una potencia de $2$ espacio donde $2 = \{0,1\}$ equipado con la topología $\{ \emptyset, 2,\{1\}\}$ .

Mi pregunta es que si se puede hacer lo mismo para el espacio de Frechet. Dado un espacio topológico $X$ ¿existe un espacio de Frechet $Y$ tal que $X$ es Frechet si y sólo si $X$ se puede incrustar en una potencia de $Y$ ?

He oído que no había tal $Y$ pero han estado luchando por demostrarlo. Creo que la prueba consiste en lo siguiente, dado un espacio de Frechet $Y^{*}$ construimos un espacio de Frechet $(X^{*},\tau)$ , donde $\tau$ es cofinito, tal que $|X^{*}| > |Y^{*}||\mathbb{N}|$ y todo mapa continuo $f:Y^{*} \to X^{*}$ es constante. He estado luchando para llegar a tal $X^{*}$ así como que esto implicaría que $X^{*}$ no se puede incrustar en un poder de $Y^{*}$ . Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Dado $X$ ciertamente existe tal $Y$ . Sea $Y = X\cup \{p\}$ donde $p \notin X$ y dar $Y$ la topología cofinita (que es Fréchet).

Entonces si $X$ se incrusta en un poder de $Y$ ciertamente es Fréchet, ya que cualquier subespacio de una potencia de espacios Fréchet sigue siendo Fréchet por hechos de preservación estándar.

Si $X$ es en sí mismo Fréchet, se incrusta en un poder de $Y$ utilizando el teorema estándar de incrustación de Tychonoff:

Dejemos que $i: X \to Y$ sea el mapa de inclusión, y para cada conjunto cerrado $C$ de $X$ dejar $f_C: X \to Y$ se define por $f(x)=p$ para $x \in C$ , $f(x)=x$ para $x \notin C$ . Tenga en cuenta que todos los $f_C$ son continuas cuando $X$ es Fréchet, ya que todas las imágenes inversas de los singletons son cerradas en $X$ .

Entonces la familia $$\mathcal{F}=\{i\} \cup \{f_C: C \text{ closed in } X\}$$ separa los puntos y los conjuntos cerrados en $X$ y así $X$ se incrusta en $Y^{\mathcal{F}}$ de la forma habitual.

Por supuesto, cada espacio de Fréchet se incrusta en la potencia de un espacio de Fréchet (en sí mismo, trivialmente), pero el argumento anterior muestra que podemos encontrar un espacio de este tipo para cada espacio contable de Fréchet (y para cada clase de cardinalidad, de hecho).

La segunda parte parece referirse a un hecho clásico debido a Herrlich que para cualquier espacio de Fréchet $X$ hay un $T_3$ espacio $Z(X)$ (así que ciertamente $T_1$ ) (que tiene más de 1 punto) tal que todos los mapas continuos de $Z(X)$ a $X$ son constantes. Si lees alemán, puedes leerlo aquí (haga clic para acceder al texto completo).

Esto implica que no podemos tener un $T_1$ espacio $Y$ tal que todo espacio de Fréchet $X$ se incrusta en un poder de $Y$ (el problema es que uno $Y$ tiene que trabajar para todo $X$ en lugar de poder elegir $Y$ basado en $X$ ):

Supongamos que tenemos un $Y$ y considerar la $Z(Y)$ desde arriba y supongamos que tenemos una incrustación $e: Z(Y) \to Y^I$ para algún conjunto de índices $I$ . Entonces, para cada $i: p_i \circ e: Z(Y) \to Y$ es continua (donde $p_i$ es la proyección continua sobre el $i$ -coordenada) y, por tanto, constante. Lo que hace que $e$ un mapa constante, contradiciendo la inyectividad y la no trivialidad de $Z(Y)$ .

Obsérvese que es bien sabido que el espacio de Sierpinski de dos puntos es "potencia-universal" para $T_0$ espacios y $[0,1]$ para completar la regularidad $T_1$ espacios, por lo que el $T_1$ (y el mismo argumento se aplica a $T_2$ y $T_3$ clases) caso es desafortunado..

Tal vez podamos encontrar un cofinanciamiento $Z(Y)$ para un Fréchet $Y$ ? Todavía no estoy muy seguro de ello.