En primer lugar, permítanme dar algunos ejemplos baratos de variedades de CY que satisfacen la condición de 1) mientras que no son cocientes de tori.
Ejemplo. Sea $X$ sea cualquier colector de CY con $h^{1,1}(X)=1$ por ejemplo $X$ puede ser un quintento en $\mathbb CP^4$ . Entonces la conclusión de 1) se mantiene, porque toda métrica plana de Kahler Ricci sobre $X$ son proporcionales. Ahora, para obtener un ejemplo con $h^{1,1}(X)=2$ se puede tomar un producto directo $X_1\times X_2$ de los colectores CY que satisfacen $h^{1,1}(X_i)=1$ .
Así, la lista de colectores con $c_1=0$ satisfaciendo 2) es mayor que los cocientes de tori. Pero tal vez todos estos ejemplos puedan entenderse. Por ejemplo, debería ser fácil demostrar que a $K3$ superficie no satisface 1). Daré una breve prueba en el caso de un K3 genérico que no tiene $-2$ curvas.
EDITADO. Pongo más detalles aquí para que quede claro que lo dicho anteriormente es correcto.
Lo bueno de las formas armónicas es que la suma de dos formas armónicas es armónica. Por Nakai-Moishenzon (para superficies de Kahler), el cono de Kahler de una K3 sin $-2$ curvas coincide con una componente conectada de $(1,1)$ clases con cuadrado positivo en $H^{1,1}$ . Ahora bien, según Yau, en cualquier clase de este tipo existe una única métrica plana de Ricci. Y también, obviamente existe una única métrica armónica. Supongamos que la hipótesis 1) se cumple para nuestro K3. Entonces es obvio que esto significa que cada forma armónica $w$ con $\int_{K3}w^2>0$ en la componente correcta del cono es plano de Ricci. Permítanme obtener una contradicción de esto
Así que dejemos $w_1$ y $w_2$ sean dos formas planas de Kahler Ricci armónicas con respecto a la métrica definida por $w$ en un $K3$ superficie, y además que $aw_1+bw_2$ es Ricci plano de nuevo. Entonces sabemos que $(aw_1+aw_2)^2$ es proporcional a $\Omega\wedge \bar\Omega$ , donde $\Omega$ es la forma de volumen complejo en $K3$ . Consideremos ahora la familia de formas $w_1-tw_2$ , $t>0$ . Toma el primer momento $t_0$ cuando tenemos $\int_{K3}(w_1-t_0w_2)^2=0$ . Pero como $(w_1-tw_2)^2=c_t\Omega \wedge \bar\Omega$ para algunos $c_t>0$ para todos $t$ menos de $t_0$ (ya que esta forma es plana de Ricci) concluimos que $(w_1-t_0w_2)^2$ es igual a cero puntualmente. Por lo tanto, el núcleo de $w_1-tw_2$ debe definir una folitación holomorfa en $K3$ . Ya que para $K3$ tiene $h^{1,1}=20$ Deberíamos obtener una enorme cantidad de foliaciones holomorfas en él, pero esto es claramente imposible.
Todavía no es un razonamiento 100% completo, pero estoy seguro de que se puede completar. Así que me parece que la lista completa de variedades que satisfacen 1) son todas las variedades que son quorientes finitos de un toro por una colección de manfietas de CY con $h^{1,1}=1$ . La idea es sencilla: siempre que se tengan dos formas planas de Ricci tales que $w_1+tw_2$ es plano de Ricci para un tamaño pequeño de $t$ , esto debería conducir a una división métrica local del colector en producto directo. Entonces deberíamos utilizar el teorema de descomposición de De-Rahm.
