¿Cómo proyectar una porción de una esfera a un plano conservando la distancia?

Question

La proyección estereográfica conserva los ángulos pero no las distancias. Me han hecho creer que no es posible pasar de una esfera a un plano preservando las distancias entre puntos, pero ¿es posible hacerlo con un segmento de esfera?

Para contextualizar, estoy planeando usar ubicaciones en los Estados Unidos como entradas, y por lo tanto sólo necesitaría proyectar el área de una esfera correspondiente a los Estados Unidos continentales y Alaska (probablemente sólo ojearía los números para Hawái dada su distancia del resto de los estados). ¿Hay alguna forma de preservar la distancia en esta transformación de un subconjunto de la esfera?

Answer 1

No es posible hacerlo ni siquiera para un segmento de una esfera. La razón es esencialmente la misma: un segmento de la esfera es intrínsecamente curvo, al igual que toda la esfera. Si el segmento es pequeño en relación con toda la esfera, la distorsión será relativamente pequeña; la aproximación empeora a medida que el segmento crece. Por ello, los mapas locales ofrecen distancias aproximadamente correctas. Para una región tan grande como el territorio continental de Estados Unidos, la distorsión será considerable hagas lo que hagas.

Para las distancias exactas, lo mejor que se puede hacer son los distintos proyecciones equidistantes . El proyección azimutal equidistante conserva las distancias a lo largo de cualquier diámetro del mapa. En particular, esto significa que la distancia desde el punto central $P$ a cualquier otro punto es correcto.

En el proyección cónica equidistante Las distancias son correctas a lo largo de dos paralelos concretos.