Prueba de la fórmula del coeficiente binomial.

Question

¿Cómo podemos demostrar que el número de formas de elegir $k$ elementos entre $n$ es $\frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}$ con $k\leq n$ ? Esto es un hecho aceptado en todos los libros pero no he podido encontrar una prueba.

Answer 1

SUGERENCIA: Al principio hay que demostrar la recurrencia $$\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1},\binom{n}{0}=1$$ para $n\geq k$ $$\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\frac{n-1}{k-1}...\frac{n-(k-1)}{1}\binom{n-k}{0}=$$ $$=\frac{n(n-1)...(n-(k-1))}{k!}\frac{(n-k)(n-(k+1))...(n-(n-1)}{(n-k)(n-(k+1)...(n-(n-1)}=$$ $$=\frac{n(n-1)...(n-(k-1))}{k!}\frac{(n-k)(n-(k+1))...2\cdot 1}{(n-k)(n-(k+1)...2\cdot 1}=$$ $$=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Answer 2

Si tiene $k$ número de negros y $n-k$ bolas blancas lo que es su cambio de conseguir 1 blanco entonces 1 negro entonces 1 blanco ... es $\frac{(n-k)!k!}{n!}$ y si su cambio de conseguir $1$ combinación es $\frac{(n-k)!k!}{n!}$ cuántas combinaciones hay la respuesta es $\frac{n!}{(n-k)!k!}$ .así es como lo pienso pero puede ser defectuoso.

Answer 3

Si tienes 5 personas (A, B, C, D y E) pero quieres construir un equipo de tres personas, el mayor número de formas que puedes hacer es 5x4x3= 60 formas. Pero date cuenta de que el equipo ABC y el CBA son básicamente el mismo equipo.

Así que para tres personas, puedes tener 3x2x1=6 combinaciones diferentes.

Esto significa que, haciendo un equipo con 5 personas con 3 posiciones, puedes tener un total de (5x4x3) / (1x2x3) = 10 combinaciones diferentes. Este número 10 es el tercer número de la quinta fila del triángulo de Pascal. Esto nos indica básicamente el número de combinaciones que podemos tener.

Y (5x4x3) / (1x2x3) = ¡5! / (3! x 2!) = C (5, 3)