Muchas veces he visto la expresión "un álgebra de Lie tiene una extensión central dada por" y me he acostumbrado a ella. Sin embargo, ¿cuándo un álgebra de Lie tiene una extensión central? ¿Es única en algún sentido?
Respuesta
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Un álgebra de Lie $\mathfrak g$ siempre tiene muchas extensiones centrales. De hecho, una forma de ver las extensiones centrales simplemente como proyecciones del álgebra de Lie $\phi:\mathfrak h\to\mathfrak g$ tal que el núcleo de $\phi$ está contenida en el centro de $\mathfrak h$ .
Siempre se puede considerar, por ejemplo, $\mathfrak h=\mathfrak g\oplus\mathfrak a$ con $\mathfrak a$ un álgebra de Lie abeliana arbitraria, y el mapa obvio $\phi:\mathfrak h\to\mathfrak g$ .
Es una parte estándar de la teoría de la cohomología de las álgebras de Lie clasificar las extensiones de las álgebras de Lie y, en particular, las que son centrales. Esto se explica -al menos- en el libro de Hilton-Stambach sobre álgebra homológica y, si no recuerdo mal, en el libro de Weibel sobre el mismo tema.
Hay un caso especial en el que existe una extensión central distinguida: si $\mathfrak g$ es un perfecto álgebra de Lie, entonces hay un extensión central universal de $\mathfrak g$ en algún sentido (y éste es el que se utiliza habitualmente para construir álgebras afines y amigas) Esto se hace más o menos en detalle en el libro de Weibel.
