¿Pueden dos pequeños exóticos lisos $\mathbb{R}^4$ los colectores se combinan como un estándar liso $\mathbb{R}^4$ ?

Question

Acabo de ver el documento de De Michelis y Freedman Un sinnúmero de exóticas $\mathbf{R}^4$ en el espacio 4 estándar , J. Differential Geometry 35 (1992) pp 219-254, doi: 10.4310/jdg/1214447810 .

Si he entendido bien, dijeron que hay muchos pequeños exóticos $\mathbb{R}^4_\xi$ colectores que pueden incrustarse en un $\mathbb{R}^4$ .

No puedo captar todas las ideas de su documento, pero me gustaría mucho conocer la pregunta:

¿Pueden dos pequeños exóticos $\mathbb{R}^4_\xi$ y $\mathbb{R}^4_{\xi'}$ de los colectores que se incrustan en una norma $\mathbb{R}^4$ se combinan (aniquilan) entre sí y se convierten en un estándar global $\mathbb{R}^4$ ¿múltiple?

¿O puede una norma global $\mathbb{R}^4$ El colector se deforma de forma continua para crear dos pequeños y exóticos lisos $\mathbb{R}^4_\xi$ y $\mathbb{R}^4_{\xi'}$ ¿recibos?

Answer 1

Si la "combinación" a la que te refieres es la suma final, resulta que no existe esa exótica $\mathbb{R}^4$ existe. Esto fue demostrado por Gompf en el apéndice de "Un conjunto infinito de exóticas $\mathbb{R}^4$ 's" (Journal of Differential Geometry 1983). La idea básica es suponer $R_1 \natural R_2 = \mathbb{R}^4$ y utilizar la estafa de Eilenberg para conseguir

$$R_1 = R_1 \natural (\natural_{i=1}^\infty \mathbb{R}^4) = R_1 \natural (\natural_{i=1}^\infty (R_2 \natural R_1)) = R_1 \natural R_2 \natural R_1 \natural R_2 \dots = \mathbb{R}^4 \natural \mathbb{R}^4 \natural \dots = \mathbb{R}^4 $$

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[Editar: nota antigua] Creo que cualquier exótico $\mathbb{R}^4$ tendría que ser estándar en el infinito. Para ver esto, supongamos dos exóticas $\mathbb{R}^4$ 's $R_1$ y $R_{2}$ tienen suma final $R_1 \natural R_2$ difeomorfo a la norma $\mathbb{R}^4$ . La suma final $R_1 \natural R_2$ se construye tomando incrustaciones suaves y adecuadas de los rayos $\gamma_i: [0, \infty) \rightarrow R_i$ . A continuación, tomamos vecindades tubulares del rayo que serán difeomorfas a $[0,\infty) \times \mathbb{R}^3$ . Borra cada uno de estos barrios tubulares para obtener $U_i \subset R_i$ . A continuación, pegamos $U_1$ y $U_2$ a lo largo del nuevo límite para obtener $R_1 \natural R_2$ . Cuando Gompf introdujo esto en su artículo antes mencionado, demostró que esto produce una variedad suave bien definida y homeomorfa a $\mathbb{R}^4$ .

Si $R_1 \natural R_2$ es difeomorfo a $\mathbb{R}^4$ , entonces hay una vecindad del infinito $V \subset R_1 \natural R_2$ que es difeomorfo a una vecindad del infinito de $\mathbb{R}^4$ , a saber $S^3 \times \mathbb{R}$ . Esto induce un difeomorfismo con una vecindad del infinito de cada $U_i$ con una vecindad del infinito de $\mathbb{R^3} \times (-\infty,0]$ . Podemos entonces pegar la vecindad de los rayos $\gamma_i$ de nuevo. Esto inducirá un difeomorfismo de las vecindades del infinito de $R_i$ con una vecindad del infinito de $\mathbb{R^3} \times (-\infty,0]$ pegado con $[0,\infty) \times \mathbb{R}^3$ . Esta será la norma $\mathbb{R}^4$ y así $R_i$ es difeomorfo a $\mathbb{R}^4$ en el infinito.