¿Funciones de onda en la teoría del campo libre escalar complejo?

Question

Consideremos la teoría escalar compleja libre. Denotemos $a(p)^{\dagger}$ como operador de creación de partículas, y $b(p)^{\dagger}$ como operador de creación de antipartículas. Sé que un estado arbitrario de una partícula está dado por $$|1\rangle=\int{}d^3p\,g(p)a(p)^{\dagger}|0\rangle$$ donde $g(p)$ es una función que se comporta suficientemente bien. Quiero saber cómo calcular la función de onda de tal estado, pero nunca me han dicho cómo calcular $|x\rangle$ en este contexto.

Entonces, ¿cómo calcular la función de onda? ¿Habría alguna diferencia en la forma de calcular $|x\rangle$ ¿había elegido un estado de una antipartícula?

Answer 1

Suponiendo que $p$ denota una coordenada de momento, la función $g(p)\in L^2(\mathbb{R}^3)$ es su función de onda de una partícula en la representación del momento.

Más concretamente, el vector $\lvert 1\rangle=\Bigl(\lvert 1\rangle_0,\lvert 1\rangle_1(p_1),\dotsc,\lvert 1\rangle_n(p_1,p_2,\dotsc,p_n),\dotsc\Bigl)$ que ha escrito (donde $\lvert 1\rangle_n(p_1,\dotsc,p_n)$ es el $n$ -componente de la partícula en la representación del momento) tiene la forma $$\lvert 1_g\rangle=\Bigl(0,g(p),0,\dotsc,0,\dotsc\Bigl)\; ;$$ es decir, es un vector infinito con componentes nulas, aparte de la segunda que representa una única partícula con función de onda $g(p)$ .

Como es habitual, se puede recuperar la función de onda en representación de posición mediante la transformada de Fourier en $L^2$ es decir $$g(x)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\mathbb{R}^3} e^{ip\cdot x}g(p)d^3p\; .$$