¿Cómo debería un físico teórico estudiar las matemáticas?

Question

Posible duplicado:
¿Cómo debería un estudiante de física estudiar matemáticas?

Si alguien quiere investigar en la teoría de las cuerdas, por ejemplo, ¿los Nakahara Topología, geometría y física y otros libros de geometría y topología dirigidos a los físicos son suficientes para ese propósito, o se deberían leer libros de texto de matemáticas abstractas, por ejemplo, Spivak Geometría diferencial. ¿Qué pasa con el análisis real y el análisis funcional (no sólo el capítulo introductorio de análisis funcional que está presente en los libros de texto de mecánica cuántica)?

Answer 1

Creo que es una pregunta interesante. La respuesta depende muy sensiblemente del tipo de física en el que se quiera trabajar. Si se quiere hacer "física fundamental" en la línea de gente como Edward Witten, entonces la capacidad de pensar como matemático y como físico es probablemente muy valiosa. Por otro lado, si estás interesado en otro tipo de problemas, estoy seguro de que es suficiente tener una imagen mental de lo que está pasando para llegar a experimentos útiles (y experimentos mentales) sin preocuparse por tener pruebas matemáticas perfectas de todo lo que usas.

Es cierto que los matemáticos y los físicos suelen interesarse por cosas distintas. A los matemáticos (puros) les interesa demostrar teoremas a partir de supuestos lógicos básicos de partida, mientras que los físicos suelen tener como objetivo realizar algún tipo de cálculo numérico para compararlo con las predicciones numéricas de los experimentos. La diferencia en ambos puntos de vista probablemente desaparece "a medida que la barra h llega a cero" para algunos físicos. La cuestión es que las matemáticas están interesadas en intuiciones que ayuden a construir teorías matemáticas coherentes que resistan los ataques lógicos. Los físicos quieren intuiciones que puedan utilizarse para construir modelos que den buenas predicciones experimentales hasta la tolerancia de medida (que ahora es bastante alta). A escala cuántica, creo que las intuiciones basadas en el sentido común y la experiencia "física" se desmoronan y deben ser sustituidas por intuiciones matemáticas más espartanas. (Los matemáticos están acostumbrados a dar menos por sentado... ésa es realmente la única diferencia).

Lo mejor que puedo decir es que los físicos son probablemente "pájaros" en el sentido de Freeman Dyson . Lo mejor que puedes hacer si eres un pájaro es seguir el consejo de Michael Atiyah y acumular un almacén de ejemplos fundamentales (los más sencillos no triviales) que puedas utilizar para poner a prueba las teorías. Esos ejemplos construyen intuición (física y de otro tipo) y eso es lo que quieres. Leas los libros que leas, lleva contigo tu colección de ejemplos básicos y comprueba tu intuición con ellos. Para la física, esto es probablemente tan valioso o más que demostrar los teoremas.

Yo, por mi parte, desearía que la brecha percibida no fuera tan grande entre las matemáticas y la física. El objetivo de las matemáticas es perfeccionar la intuición, no perderla. Si estás perdiendo tu intuición, estás haciendo algo muy mal.

Answer 2

Como alguien que pretendía estudiar física, pero acabó estudiando matemáticas; las matemáticas me parecían áridas y discursivas y muy alejadas de lo que mi intuición física consideraba útil. Era imposible estudiar :-)

Cuando volví a la Física, a veces me resultaba imposible seguir los argumentos, ya que siempre buscaba la motivación lógica. En otras palabras, mi intuición física se había evaporado :-(.

Los libros de matemáticas, aunque su exposición pueda ser más clara, para el matemático; tiene diferentes estándares, y está tratando de lograr cosas diferentes.

Te sugiero que te ciñas a libros de física con la tecnología matemática adecuada, para que no se desplace la intuición física primaria que necesitas desarrollar. Pero también consulta textos de matemáticas para ver qué más ocurre, o pide a un matemático que te lo explique, para ver qué te estás perdiendo. Los artículos expositivos son útiles.

Históricamente, los vínculos entre ambos temas son complejos y fascinantes, y no puedo sino esperar que continúen así, a pesar de los desencuentros ocasionales (Gruppenpest & Abstract Nonsense).