espacios simpliciales sin degeneraciones

Question

Supongamos que tengo un espacio simplicial $X_{\bullet}$ sin degeneraciones (a veces llamado espacio semisimplicial o espacio simplicial incompleto). Todavía existe una realización geométrica $\lVert X \rVert$ de $X_{\bullet}$ que sólo utiliza los mapas de caras. Qué propiedades tiene esta realización?

• ¿Sigue conservando los productos, es decir, es $\lVert X \times Y \rVert$ sigue siendo (¿débilmente?) equivalente en homotopía a $\lVert X \rVert \times \lVert Y \rVert$ ?
• ¿Las equivalencias (débiles) de nivel siguen induciendo una equivalencia de homotopía (débil) de las realizaciones geométricas?

Conozco el artículo "Categories and Cohomology Theories" de Segal, donde define esta realización geométrica "gorda" en el apéndice. Desgraciadamente, demuestra las propiedades anteriores mediante una comparación con otra construcción que tiene en cuenta las degeneraciones. ¿Es ésta la única manera de demostrarlo? ¿Fallan las propiedades en caso de que no haya degeneraciones?

Answer 1

En resumen:

Para su primera pregunta, no. Deje que $X_\bullet$ sea cualquier espacio semisimplificado y $Y_\bullet$ tener un punto en el grado cero y estar vacío en todos los demás grados. Entonces $\vert X_\bullet \times Y_\bullet \vert = X_0$ que no suele ser equivalente a $\vert X_\bullet \vert$ .

Para su segunda pregunta, sí. Esto es siempre cierto para los espacios semisimplificados, y no siempre es cierto para los espacios simplificados (es en el caso de que las realizaciones gruesas y finas sean equivalentes, por supuesto). Para ver esto hay que demostrar que los mapas en $k$ -skeleta $\vert X_\bullet \vert^{(k)} \to \vert Y_\bullet \vert^{(k)}$ son equivalencias por inducción en $k$ utilizando la descripción de la "push-out" de la $k$ -esqueleto del $(k-1)$ -esqueleto, y el hecho de que $$X_k \times \partial \Delta^k \to X_k \times \Delta^k$$ es una cofibración, por lo que es un empuje de homotopía. Entonces se utiliza que $\vert X^\bullet \vert = \mathrm{colim} \vert X^\bullet \vert^{(k)}$ y que cada $\vert X^\bullet \vert^{(k-1)} \to \vert X^\bullet \vert^{(k)}$ es una cofibración por lo que se trata de un colímite de homotopía.

Answer 2

[ Ahora me doy cuenta de que el OP está preguntando por funtores a imagen y semejanza del functor olvidadizo de espacios simpliciales a espacios semisimpliciales, aunque yo enfoco mi respuesta principalmente a un espacio semisimplicial general. De todas formas mantendré la respuesta por si es útil.

Para aclarar, por un bla simplicial, estoy hablando como siempre de un functor $\Delta^{op} \to Blahs$ . Un blah semisimplicial viene dado por un functor $\Delta_0^{op} \to Blahs$ , donde $\Delta_0$ es la subcategoría no completa en la que descartamos las proyecciones no identitarias].

Las degeneraciones son críticas cuando se consideran los productos; de hecho, es falso que la realización geométrica conmute con los productos (hasta la equivalencia de homotopía) sin las simplices degeneradas. Un ejemplo sencillo es tomar el producto de $S^1$ con ella misma---si se toma la estructura semisimplicial de un vértice y una arista, nunca se recuperará el toro mediante la realización geométrica. (Un problema obvio surge cuando ahora tus símiles superiores $X_n$ puede ser igual al conjunto vacío). Obsérvese que este es un ejemplo en conjuntos semisimplicitos, no en espacios pares. En resumen, el functor $||\bullet||: semiSSpace \to Spaces$ no se comporta bien con respecto a los productos.

Sin embargo, estos conjuntos/espacios simpáticos "incompletos" surgen de forma realmente natural. Por ejemplo, muchas categorías pueden no tener una unidad/identidad natural, por lo que no hay mapas de degeneración en el nervio de la categoría--estos se modelan más fácilmente por conjuntos/espacios "semi "simpliciales. Pero mientras no se tomen productos, la teoría de tales cosas (creo) funciona bien. Se puede seguir hablando del espacio clasificador de una categoría no unitaria tomando la realización geométrica del conjunto semisimplicial correspondiente (es decir, su nervio).

En cuanto a tu segunda pregunta, estoy bastante seguro de que lo que dices es correcto: si tienes dos espacios semisimplificados $Y_\bullet, X_\bullet$ con una transformación natural que induce equivalencias de nivel, entonces las realizaciones geométricas serán (débilmente) equivalentes en homotopía. Creo que se puede ver esto tomando una filtración por índice simplicial y viendo que los grados asociados son equivalentes.

Dado un espacio semisimplicial, hay algunas formas de obtener un espacio simplicial real (esto es similar a la adición formal de unidades en una categoría, o a un álgebra) pero no estoy seguro de lo bien que se comporta este functor.

Sin embargo, el functor compuesto $$ SSpace \to semiSSpace \to Spaces $$ (olvidar, y luego realizar) satisfará todas las propiedades que pediste, principalmente porque la realización geométrica gorda no difiere en tipo de homotopía de la realización geométrica habitual (¡siempre que el espacio simplicial sea bueno, en el sentido de Segal!).

Como siempre, si alguien tiene preguntas o comentarios más esclarecedores, por favor, compártalos.

Hiro