Entender por qué x ∈ ∩∅ es cierto para todo valor de x

Question

En Cómo demostrarlo: Un enfoque estructurado el autor menciona:

... si F = , entonces la afirmación x F será verdadera sea cual sea x.

Si analizo la estructura lógica de x :

x  
x  {y | A(A    y  A)}
A(A    x  A)
A(F  x  A) Because  has no members
A(T  x  A) Conditional law
A(x  A)     Tautology law

Mi conclusión apoya lo que dice el autor, sin embargo esto no tiene sentido para mí.

F se supone que representa la intersección de todos los elementos de F pero si F es Entonces, por lo que tengo entendido F no tendrá ningún elemento, lo que lleva a F a un estado indefinido por lo que puedo pensar.

¿Cómo puede entonces x sea verdadera para cada valor de x ?

Answer 1

Probablemente esto ayude un poco.

$\bigcap\varnothing$ debe ser el elemento de identidad de la operación de intersección. Ahora, pensemos en el caso, cuando todos los conjuntos involucrados son subconjuntos de algún conjunto del universo $U$ . En este caso, el conjunto $U$ es claramente el elemento de identidad para la intersección (ya que si $A \subset U$ entonces $A \cap U = A$ ).

Así que, en un caso general, $\bigcap\varnothing$ debe ser igual al conjunto de todos los conjuntos (que no existe en ZF, por cierto).