Un problema de geometría difícil

Question

Ya tengo mi propia solución para la siguiente pregunta. Pero sigo interesado en otras soluciones elegantes sin trigonometría si es posible.

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Esta es mi propia solución. Soy perezoso para subir el código de TeX, lo siento.

Answer 1

Una pista:

Dibuja un regular $18$ -gon $Q$ . Tiene la propiedad de que el ángulo entre las diagonales vecinas que emanan del mismo vértice es $10^ \circ $ .

Los puntos $B$ , $C$ , $D$ de su figura puede realizarse como vértices de $Q$ además de la línea $C \vee P$ es una diagonal que emana de $C$ y $D \vee A$ , $\ D \vee E$ son diagonales que emanan de $D$ .

Creo que la solución de su problema está escondida en esta figura. El punto no trivial es el hecho de que la línea $B \vee P$ es también una diagonal, es decir, que tres diagonales de $Q$ se reúnen en $P$ . Esto a su vez tiene que ver con las relaciones algebraicas entre los $18$ las raíces de la unidad.

Answer 2

Vamos a tratar de $ \alpha $ ...

En $ \triangle BPQ$ Tenemos $ \angle B = \alpha $ y $ \angle P = 120 - \alpha $ .

$$ \begin {eqnarray*} \frac { \sin (120- \alpha )}{ \sin\alpha }= \frac {BQ}{PQ}= \frac {BQ}{CQ} \frac {CQ}{DQ} \frac {DQ}{PQ}= \frac { \sin 40}{ \sin 20} \frac { \sin 50}{ \sin 70} \cdot 1= \frac {2 \sin 40 \cos 40}{2 \sin 20 \cos 20}= \frac { \sin 80}{ \sin 40} \end {eqnarray*}$$

Obsérvese que $80 + 40 = 120$ . Así,

$$ \begin {eqnarray*} \sin (120- \alpha ) \sin 40 &=& \sin \alpha \sin ( 120-40 ) \\ ( \sin 120 \cos\alpha - \cos 120 \sin \alpha ) \sin 40 &=& \sin\alpha ( \sin 120 \cos 40 - \cos 120 \sin 40 ) \\ \cos\alpha \sin 40 &=& \sin\alpha \cos 40 \\ 0&=& \sin ( \alpha - 40 ) \\ \alpha &=& 40 \text { is the only possible answer} \end {eqnarray*}$$

Nota: Generalizar $120$ a un ángulo $ \gamma $ de tal manera que $ \sin { \gamma } \neq 0$ Tenemos

$$ \frac { \sin ( \gamma - \alpha )}{ \sin\alpha } = \frac { \sin ( \gamma - \beta )}{ \sin\beta } \implies \sin ( \alpha - \beta ) = 0$$

Answer 3

Autocad puede hacer . ...................................................................................................................................................................a a a a a a a a a ............