Completitud y cerrazón en los espacios métricos

Question

Si todo subconjunto cerrado (adecuado) de un espacio métrico es completo, ¿lo es también todo el espacio?

Answer 1

Sí. Deja que $X$ sea un espacio no completo. Consideremos una secuencia de Cauchy no convergente $(a_n)$ en $X$ . Sea $x\in X$ sea un punto cualquiera. El punto $x$ no es un punto de acumulación de $(a_n)$ porque de lo contrario $(a_n)$ (siendo Cauchy) convergería a $x$ . Por lo tanto, hay un barrio abierto $U$ de $x$ y un $N\in\mathbb N$ tal que $a_k\notin U$ para $k>N$ . Por lo tanto, $(a_n)_{n>N}$ es una secuencia en $X\setminus U$ y $X\setminus U$ es un subespacio cerrado y no completo de $X$ como muestra esta secuencia de Cauchy no convergente.

Answer 2

Basta con considerar una secuencia de Cauchy que no sea convergente y llegar a una contradicción. El conjunto $S$ que consiste en los términos de la secuencia es cerrada; de lo contrario, alguna subsecuencia de la misma sería convergente, y para las secuencias de Cauchy esto implicaría que toda la secuencia es convergente. Para asegurarse de que $S$ no es todo el espacio, elimina de él un punto. Entonces se obtiene un subconjunto cerrado, propio, pero no completo del espacio.