Capacitancia total para una red de escalera con dos capacitancias

Question

¿Existe una fórmula estándar para determinar la capacidad total de:

simular este circuito - Esquema creado con CircuitLab Donde C1 y C son capacitancias diferentes y para n número de C1 y C. Tal vez uno puede crear un diseño de circuito equivalente, pero no puedo verlo.

Gracias.

Answer 1

Para cada segmento, tenemos dos condensadores en serie que luego están en paralelo con un tercero, por lo que tenemos una capacitancia total de:

$$C_{leg} = C_1 + \frac{1}{\frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_1}}$$

Podemos generalizar esto en una fórmula iterativa para cada tramo si suponemos que el tramo está formado sólo por los dos condensadores, y el tramo final está formado sólo por \$C_1\$ :

$$C_{leg}(m+1) = C_1 + \frac{1}{\frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_{leg}(m)}} \quad\quad\quad\mathrm{where}\quad C_{leg}(0)=C_1$$

A continuación, basta con iterar la fórmula \$n\$ veces hasta tener la capacitancia total, es decir \$C_{total} = C_{leg}(n)\$ .

---

Sólo para divertirse, esencialmente terminará calculando iterativamente algo como esto (ejemplo para n=4):

$$C_{total} = C_1 + \cfrac{1}{\frac{1}{C_2} + \cfrac{1}{C_1 + \cfrac{1}{\frac{1}{C_2} + \cfrac{1}{C_1 + \cfrac{1}{\frac{1}{C_2} + \cfrac{1}{C_1 + \cfrac{1}{\frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_1}}}}}}}}$$

Answer 2

Como complemento a la respuesta de Tom Carpenter, si se tiene una cadena infinita y la serie converge, entonces $$ C_{leg}(m + 1) \rightarrow C_{leg}(m) $$ $$C_{leg} = C_1 + \frac{1}{\frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_{leg}}}$$ $$ \Rightarrow C_{leg} = \frac{1}{2}(\sqrt{4 C_1 C_2 + C_1^2} - C_1) $$

Answer 3

Probablemente exista una forma compacta basada en las funciones generadoras de la transformación z. Véase la pregunta y respuesta de SE sobre una red de escalera de resistencias relacionada: Expresión de forma cerrada para una red de resistencias en escalera .

Consulte también el catálogo de funciones generadoras en : http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/articles/MasterThesis.pdf

Answer 4

Si escribimos $$\begin{pmatrix}U_1\\I_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&Z\\Y&1\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}U_2\\I_2\end{pmatrix}$$

con $$Z = \frac{1}{2 \pi jf C_2}$$ y $$Y = 2 \pi jf C_1$$ entonces $$\begin{pmatrix}1&Z\\Y&1\end{pmatrix}^n=\frac{1}{2\sqrt{YZ}}\begin{pmatrix}\sqrt{Z}&-\sqrt{Z}\\\sqrt{Y}&\sqrt{Y}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}(1+\sqrt{YZ})^n&0\\0&(1-\sqrt{YZ})^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{Y}&\sqrt{Z}\\-\sqrt{Y}&\sqrt{Z}\end{pmatrix}$$ y ahora me duele la cabeza por la diagonalización y que alguien se encargue de ello.