Considerar el grupo abelian $\mathbb{Z}^\mathbb{Z}$ bajo componente de sabios de la adición, es decir, el grupo de poder formal de la serie en virtud de la adición. Estoy interesado en encontrar un subgrupo de $H$ de este grupo que satisface
- Cualquiera de los dos elementos de $H$ difieren en infinidad de lugares; es decir, la diferencia entre ellos es nunca un polinomio;
- Cualquier elemento de $\mathbb{Z}^\mathbb{Z}$ puede ser escrito como un elemento de $H$, además de un polinomio.
(1) implica que la representación en (2) es único.
Había intentado encontrar a $H$ con el hecho de que todo espacio vectorial tiene una base en el espacio vectorial de potencia de la serie sobre $\mathbb{Q}$, pero en una inspección más cercana, esto no funciona. (Puedo lograr (2) siempre que la base incluye $1, x, x^2,$ etc., por tirarlos a la basura; sin embargo, no hay ninguna manera de satisfacer (1).)
Mi otro intento fue para mostrar que no hay tal $H$ por caja. Sabemos $|H| = |\mathbb{R}|$. Así por encasillar, encontrar $|\mathbb{R}|$ elementos de $H$ que tienen la misma último dígito. Entre esos elementos, encontrar $|\mathbb{R}|$ que tienen el mismo dos últimos dígitos. Esto puede continuar en cualquier número finito de dígitos. Creo que podemos asumir que estos número finito de compartido dígitos son todos distintos de cero, pero no sé qué hacer a continuación.
Estoy bastante seguro de que la idea de un subconjunto $H$ es un grupo común de la teoría noción pero yo sólo sé básicos de la teoría de grupos a mí mismo. Esto también parece que sería un problema bien conocido. Alguien me puede ayudar aquí?
