Relación entre Supremum y límite superior

Question

Si $\sup\limits_{n\ge 1} a_n<\infty$ entonces se obtiene que $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n<\infty.$ ¿Puede explicar eso?

Answer 1

Mostramos algo más agudo. Denote $\;M=\sup_{n\ge1}a_n$ y supongamos

$$B=\lim\sup_{n\to\infty}a_n>M\implies B=M+\delta\;,\;\;\delta>0$$

pero entonces podemos elegir $\;\epsilon=\frac\delta2\;$ y así obtenemos que existe $\;n\in\Bbb N\;$ s.t.

$$|a_n-B|<\epsilon\implies a_n>B-\epsilon>B-\delta=M$$

lo que, por supuesto, es absurdo. En particular, no puede ser $\;B=\infty\;$ .